Kreisteilungsring/p/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe

Es sei $p$ eine Primzahl und

$R_p=\mathbb{Z}[X]/(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^2+X+1)$

der $p$-te Kreisteilungsring. Es sei

$H\subseteq {(\mathbb{Z}/(p))}^{\times }\cong \mathrm{Gal}(K_p/\mathbb{Q})$

eine Untergruppe der Galoisgruppe, und es seien

$H_1=H,H_2,\dots ,H_k\subseteq {(\mathbb{Z}/(p))}^{\times }$

die Nebenklassen zu $H$. Zeige, dass der Invariantenring $R_p^H$ die Ganzheitsbasis

$f_j=\sum _{a\in H_j}{X}^a$

zu  $j=1,\dots ,k$  besitzt.

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