Kreisteilungsring/p/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl und

${}R_{p}=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X^{2}+X+1\right)}\,$

der ${}p$-te Kreisteilungsring. Es sei

${}H\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\cong \operatorname {Gal} \,(K_{p}{|}\mathbb {Q} )\,$

eine Untergruppe der Galoisgruppe, und es seien

$H_{1}=H,\,H_{2},\ldots ,H_{k}\subseteq {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$

die Nebenklassen zu ${}H$. Zeige, dass der Invariantenring ${}R_{p}^{H}$ die Ganzheitsbasis

${}f_{j}=\sum _{a\in H_{j}}X^{a}\,$

zu ${}j=1,\ldots ,k$

besitzt.

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