Krulldimension/Noethersch/Charakterisierung von nulldimensional/Fakt

Für einen noetherschen kommutativen Ring $R$ sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $R$ hat Krulldimension $0$.
2. $R$ ist ein artinscher Ring.
3. $R$ besitzt endlich viele Primideale, die alle maximal sind.
4. Es gibt eine natürliche Zahl $n$ mit  ${𝔪}^n=0$  für jedes maximale Ideal $𝔪$.
5. Die Reduktion von $R$ ist ein Produkt von Körpern.

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