Krullscher Durchschnittssatz/Elementformulierung/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten den -Untermodul

Für jedes gilt

Wir können das Lemma von Artin-Rees anwenden und erhalten für hinreichend groß

In dieser Situation können wir das Lemma von Nakayama anwenden und erhalten die Existenz eines derart, dass den Modul annulliert. Jedes Element aus wird also von annulliert. Wenn es umgekehrt zu ein mit

gibt, so ist

also für alle .