Kubische Gleichung/Cardano/Textabschnitt

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Wir betrachten nun eine normierte kubische Gleichung

wobei die Koeffizienten aus seien. Mit einem Ergänzungstrick können wir den quadratischen Koeffizienten eliminieren. Wir machen den Ansatz und schreiben die Gleichung als

bzw. als mit den neuen Koeffizienten

Lösungen dieser vereinfachten Gleichung führen direkt zu Lösungen der Ausgangsgleichung.

Die vereinfachte Gleichung kann man über die folgende Formel von Cardano lösen. Wir brauchen dafür ein Lemma über dritte Einheitswurzeln von , das sind komplexe Zahlen mit , also die Lösungen der reinen kubischen Gleichung .



Lemma

Es gelten folgende Aussagen.

  1. Die dritten Einheitswurzeln in sind und .
  2. Es ist und .
  3. Es ist .
  4. Es ist .

Beweis

Siehe Aufgabe.



Satz  

Es sei

mit eine kubische Gleichung. Wir setzen . Es seien

wobei diese dritten Wurzeln so gewählt seien, dass ist.

Dann sind (mit der dritten Einheitswurzel ) die Elemente Vorlage:Mathlist/display die Lösungen dieser kubischen Gleichung.

Beweis  

Wir zeigen zuerst, dass die dritten Wurzeln und so gewählt werden können, dass ihr Produkt gleich ist. Für eine irgendwie gewählte Quadratwurzel und irgendwie gewählte dritte Wurzeln und ist

wobei eine dritte Einheitswurzel ist. Ersetzt man nun durch , so ist das Produkt gleich .

Wir berechen nun

und müssen zeigen, dass dies gleich ist. Die angegebenen Elemente sind offenbar die Nullstellen dieses faktorisierten Polynoms. Es ist

Der quadratische Koeffizient ist (unter Verwendung von Fakt)

Der lineare Koeffizient ist

Der konstante Koeffizient ist



Beispiel  

Wir betrachten die kubische Gleichung

und wenden darauf Fakt an. Es ist demnach und und somit und . Dabei wählen wir jeweils die reellen dritten Wurzeln, was automatisch die reelle Bedingung sicherstellt. Somit ist eine reelle Lösung der Gleichung. Man sieht, dass diese Lösung aus Lösungen von rein-quadratischen und rein-kubischen Gleichungen mittels arithmetischer Ausdrücke zusammengesetzt ist, darüber hinaus aber keine einfache Gestalt besitzt. Den numerischen Wert dieser Lösung kann man beliebig genau durch beliebig genaue Berechnungen der Lösungen der reinen Gleichungen ausrechnen, doch könnte man genauso gut direkt (mit dem Halbierungsverfahren oder Ähnlichem) die Nullstelle numerisch berechnen.