Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz
Der Identitätssatz ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, er besagt, dass sie schon unter relativ schwachen Voraussetzungen eindeutig festgelegt ist.
Aussage
[Bearbeiten]Sei ein Gebiet. Für zwei holomorphe Funktionen sind äquivalent:
- (1) (d.h. für alle )
- (2) Es gibt ein mit für alle .
- (3) Die Menge hat einen Häufungspunkt in .
Beweis
[Bearbeiten]Durch Betrachtung von dürfen wir o. E. annehmen, dass . Äquivalent zu der Aussage des Satzes wird nur der Beweis für folgende 3 Aussage geführt:
- (N1) (d.h. für alle )
- (N2) Es gibt ein mit für alle .
- (N3) Die Nullstellenmenge hat einen Häufungspunkt in
Beweistyp
[Bearbeiten]Der Beweis der Äquivalenz erfolgt über eine Ringschluss
Beweis (N1) nach (N2)
[Bearbeiten](N1) (N2) ist offensichtlich richtig, wenn man zu der Nullfunktion die n-ten Ableitung betrachtet.
Beweis (N2) nach (N3)
[Bearbeiten]Gelte nun (N2). Betrachte ein Potenzreihenentwicklung in mit . Es ist für alle . Also ist , es folgt (N3).
Beweis (N3) nach (N1) - Widerspruchsbeweis
[Bearbeiten]Zu dem Beweisschritt (N3) (N1) wird als Widerspruchsbeweis geführt. Es wird angenommen, dass die Nullstellenmenge eine Häufungspunkt besitzt und nicht die Nullfunktion ist.
Beweis 1 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung um Häufugspunkt
[Bearbeiten]Gelte nun (N3), d. h. die Menge der Nullstellen von habe einen Häufungspunkt . Es gebe also eine Folge mit und sowie , für alle . Sei nun die Potenzreihenentwicklung von um .
Beweis 2 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung
[Bearbeiten]Angenommen, es gäbe ein mit , dann gäbe es wegen der Wohlordnungseigenschaft von auch ein kleinstes solches . Es wäre
Beweis 3 - (N3) nach (N1) - Potenzreihenentwicklung
[Bearbeiten]Für jedes wäre also
Beweis 4 - (N3) nach (N1) - Grenzwertprozess
[Bearbeiten]Wegen und erhält man:
Da für alle für . Dies steht im Widerspruch zu . Also ist für alle und damit für alle , d. h. (N2) gilt.
Beweis 5 - (N3) nach (N1) - V abgeschlossen
[Bearbeiten]Gilt (N2), setze . ist als Durchschnitt von abgeschlossen Mengen abgeschlossen in , da die stetig sind und damit Urbilder von abgeschlossenen Mengen (hier ) wieder abgeschlossen sind.
Beweis 6 - (N3) nach (N1) - offen
[Bearbeiten]ist aber zugleich auch offen in , da in jedem die Potenzreihenentwicklung von um verschwindet, also ist lokal um gleich . Wegen ist nichtleer und damit wegen des Zusammenhangs von .
Beweis 7 - von (N1)-(N3) zu (1)-(3)
[Bearbeiten]Die Aussage des Identitätssatzes (1)-(3) erhält man dann für beliebige und , wenn man (N1)-(N3) auf anwendet.
Siehe auch
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