Kurs:Algebraische Kurven/16/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	3	4	13

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der rationale Funktionenkörper zu einem Körper ${}K$.
2. Eine irreduzible Komponente einer affin-algebraischen Menge ${}V$.
3. Ein noetherscher Ring.
4. Die Normalisierung eines Integritätsbereiches ${}R$.
5. Eine monomiale Kurve.
6. Ein transversaler Schnitt von zwei ebenen Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ in einem Punkt ${}P$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.
2. Der Satz über maximale Ideale in einer Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$.
3. Der Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere, dass die Voraussetzungen im Satz von Bezout notwendig sind.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittmultiplizitäten über ${}{\mathbb {C} }$ mit Hilfe des Satzes von Bezout für die beiden ebenen projektiven Kurven, die affin durch ${}C=V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}$ und den Kreis mit Mittelpunkt ${}(-1,0)$ und Radius ${}1$ gegeben sind.