Kurs:Algebraische Kurven/2/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 10 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 2 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellefuenfzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {Nullstellenmenge} {}
zu einer Menge an Polynomen im Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}
}{Ein
\stichwort {Untermodul} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$.
}{Eine
\stichwort {Nenneraufnahme} {}
zu einem
\definitionsverweis {multiplikativen System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Eine \stichwort {affine Varietät} {.}
}{Eine \stichwort {monomiale} {} Kurve.
}{Die \stichwort {Schnittmultiplizität} {} zu zwei ebenen algebraischen Kurven
\mathkor {} {V(F)} {und} {V(G)} {}
ohne gemeinsame Komponente in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V(F) \cap V(G)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Man nennt
\mathdisp {{ \left\{ P \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } \mid F_j(P) = 0 \text { für alle } j \in J \right\} }} { }
das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.
}{Eine Teilmenge
\mathl{U \subseteq M}{} heißt
$R$-Untermodul,
wenn sie eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von
\mathl{(M,0,+)}{} ist und wenn für jedes
\mathl{u \in U}{} und
\mathl{r \in R}{} auch
\mathl{ru \in U}{} ist.
}{Man nennt den Unterring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_S
}
{ \defeq} { { \left\{ \frac{f}{g} \mid f \in R , \, g \in S \right\} }
}
{ \subseteq} { Q(R)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Nenneraufnahme zu $S$.
}{Unter einer affinen Varietät versteht man das
$K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
zu einer
$K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{}
$R$, wobei alle Zariski-offenen Mengen $U$ mit dem
\definitionsverweis {Ring der algebraischen Funktionen}{}{}
$\Gamma (U, {\mathcal O} )$ versehen sind.
}{Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${\mathbb A}^{1}_{K}$ unter einer Abbildung der Form
\maabbeledisp {} {{\mathbb A}^{1}_{K} } { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} { t } { \left( t^{e_1 } , \, \ldots , \, t^{e_n } \right)
} {,}
mit
\mathl{e_i \geq 1}{} für alle $i$.
}{Unter der Schnittmultiplizität von
\mathl{V(F)}{} und
\mathl{V(G)}{} in $P$ versteht man die Dimension
\mathdisp {\dim_{ K } { \left( K[X,Y]_P/(F,G) \right) }} { . }
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in irreduzible Komponenten.}{Die algebraische Version des
\stichwort {Hilbertschen Nullstellensatzes} {.}}{Der Satz über Einheiten im Potenzreihenring
\mathl{K [ \![ T ]\! ]}{.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei
\mathl{V \subset \mathbb A_K^n}{} eine affin-algebraische Menge. Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { V_1 \cup \ldots \cup V_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit irreduziblen Mengen $V_i$ mit
\mathl{V_i \not\subseteq V_j}{} für
\mathl{i \neq j}{.}}{Es sei $K$ ein Körper und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Körpererweiterung, die
\zusatzklammer {als $K$-Algebra} {} {}
endlich erzeugt sei. Dann ist $L$ endlich über $K$.}{Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathl{K [ \![ T]\! ]}{} der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen.
Dann ist eine formale Potenzreihe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ = }{ {\sum }_{ n =0 }^{ \infty } a _{ n } T ^{ n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Diskutiere den Zusammenhang zwischen \definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurven}{}{} und dem Satz über implizite Funktionen.
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 3x-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
}
{
Der Einheitskreis ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Darin setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 3x-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+ (3x-2)^2
}
{ =} { 10x^2 -12x +4
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 - { \frac{ 6 }{ 5 } } x + { \frac{ 3 }{ 10 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 5 } } \pm \sqrt{ { \left( { \frac{ 6 }{ 5 } } \right) }^2 -4 \cdot { \frac{ 3 }{ 10 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 5 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 36 }{ 25 } } - { \frac{ 6 }{ 5 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 5 } } \pm { \frac{ 1 }{ 5 } } \sqrt{ 6 } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 6 \pm \sqrt{ 6 } }{ 10 } }
}
}
{}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y_{1,2}
}
{ =} { 3 \cdot { \frac{ 6 \pm \sqrt{ 6 } }{ 10 } } -2
}
{ =} { { \frac{ -2 \pm 3 \sqrt{ 6 } }{ 10 } }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Die Schnittpunkte sind also
\mathkor {} {\left( { \frac{ 6 +\sqrt{ 6 } }{ 10 } } , \, { \frac{ -2 + 3 \sqrt{ 6 } }{ 10 } } \right)} {und} {\left( { \frac{ 6 - \sqrt{ 6 } }{ 10 } } , \, { \frac{ -2 - 3 \sqrt{ 6 } }{ 10 } } \right)} {.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {\mu_f} { R } { R
} { g } {fg
} {,}
wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{
Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:
$f$ ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle $g\in R$ aus $fg=0$ folgt $g=0$. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von $\mu_f$ nur aus $0$ besteht, was genau dann gilt, wenn $\mu_f$ injektiv ist.
$f$ ist eine Einheit genau dann, wenn es ein $g\in R$ gibt mit $fg=1$, was genau dann der Fall ist, wenn $1$ zum Bild von $\mu_f$ gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass $\mu_f$ surjektiv ist, denn aus $fg=1$ folgt sofort $h=(fg)h=f(gh)$ für jedes $h\in R$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n,Z]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ in
\mathl{n+1}{} Variablen. Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G,H
}
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n,Z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {homogene Polynome}{}{}
vom gleichen Grad. Für die
\definitionsverweis {Dehomogenisierungen}{}{}
\zusatzklammer {bezüglich $Z$} {} {}
gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{ G }
}
{ = }{ \tilde{ H }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { \sum_{\nu \in \N^n} a_\nu X^\nu Z^{d- \betrag { \nu } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H
}
{ =} { \sum_{\nu \in \N^n} b_\nu X^\nu Z^{d- \betrag { \nu } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $d$ der gemeinsame Grad von
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
sei. Die Dehomogenisierungen sind
\mathkor {} {\sum_{\nu \in \N^n} a_\nu X^\nu} {und} {\sum_{\nu \in \N^n} b_\nu X^\nu} {,}
die nach Voraussetzung gleich sind. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_\nu
}
{ =} { b_\nu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $\nu$ und somit stimmen auch die Ausgangspolynome überein.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Beweise den Satz über die Noethersche Normalisierung für Kurven.
}
{
Wir schreiben $F$ in homogener Zerlegung als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { F_d+F_{d-1} + \cdots + F_1 +F_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den homogenen Komponenten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_i
}
{ =} { \sum_{a+b = i} c_{a,b} X^{a}Y^{b}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ein homogenes Polynom in zwei Variablen hat die gleichen Faktorisierungseigenschaften wie ein Polynom in einer Variablen. Da wir uns über einem algebraisch abgeschlossenen Körper befinden, gibt es eine Faktorisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_d
}
{ =} { c (Y-e_1X) \cdots (Y-e_k X)X^{d-k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $c$ eine $d$-te Wurzel besitzt, können wir durch Streckung der Variablen erreichen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Da $K$ insbesondere unendlich ist, finden wir ein $e$, das von allen $e_j$ verschieden ist. Wir schreiben die Gleichung in den neuen Variablen
\mathdisp {\tilde{Y}=Y-eX \text{ und } \tilde{X}=X} { }
und erhalten eine Gleichung $\tilde{F}$, wo die Linearfaktoren von $\tilde{F}_d$ die Gestalt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ Y-e_jX
}
{ =} { Y-eX +eX-e_jX
}
{ =} { \tilde{Y}-(e_j-e)X
}
{ =} { \tilde{Y} - (e_j-e)\tilde{X}
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ e_j-e
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{X}
}
{ = }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
haben. Multipliziert man dies aus so sieht man, dass $\tilde{X}^d$ mit einem bestimmten Vorfaktor aus $K$ vorkommt, den wir wieder durch Streckung als $1$ annehmen können. Dann hat $\tilde{F}_d$ die Gestalt
\mathl{\tilde{X}^d +}{} Terme, in denen maximal
\mathl{\tilde{X}^{d-1}}{} vorkommt. Die homogenen Komponenten von kleinerem Grad behalten auch ihren Grad, sodass in $\tilde{F}$ nur noch weitere Monome vom $\tilde{X}$-Grad
\mathl{\leq d-1}{} gibt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eines
\definitionsverweis {noetherschen Ringes}{}{}
nicht noethersch sein muss.
}
{
Man betrache
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als den Polynomring in zwei Variablen über einem Körper
\mathl{K}{.} Dieser ist nach
Korollar 9.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026))
noethersch.
In diesem Ring betrachte man den Unterring
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ R
}
{ =} { { \left\{ Xg(X,Y)+c \mid g \in K[X,Y], c \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und darin die Idealkette
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_n
}
{ = }{ (X,XY,...,XY^n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ XY^{n+1}
}
{ \in {\mathfrak a}_{n+1} \setminus {\mathfrak a}_n }{}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{n \in \N}{,} und somit wird die Kette nicht stationär.
\mathl{R}{} ist also nach
Proposition 9.2 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026))
nicht noethersch.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (3+3)}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
$K[X,Y]$ mit dem
\definitionsverweis {maximalen Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzweiabc{Zeige für ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \notin }{ {\mathfrak m}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
dass das Bild von
\mathl{f {\mathfrak m}^n}{} in
\mathl{{\mathfrak m}^{n+1}}{} modulo
\mathl{{\mathfrak m}^{n+2}}{} die gleiche Dimension besitzt wie
\mathl{{\mathfrak m}^n/ {\mathfrak m}^{n+1}}{.}
}{Man beschreibe ein
\definitionsverweis {monomiales Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zusammen mit einem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \notin }{ {\mathfrak a} {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
derart, dass das Bild von
\mathl{f {\mathfrak m}^n}{} in
\mathl{{\mathfrak a} {\mathfrak m}^n}{} modulo
\mathl{{\mathfrak a} {\mathfrak m}^{n+1}}{}
\zusatzklammer {für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine kleinere Dimension besitzt als
\mathl{{\mathfrak m}^n/ {\mathfrak m}^{n+1}}{.}
}
}
{
\aufzaehlungzweiabc{Wir können ohne Einschränkung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}^n
}
{ =} { { \left( X^n,X^{n-1}Y , \ldots , Y^n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X {\mathfrak m}^n
}
{ =} { { \left( X^{n+1},X^{n}Y , \ldots , XY^n \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathfrak m}^{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Erzeuger sind modulo
\mathl{{\mathfrak m}^{n+2}}{} linear unabhängig und ihre Dimension ist daher
\mathl{n+1}{,} was mit der Dimension von
\mathl{{\mathfrak m}^n/ {\mathfrak m}^{n+1}}{} übereinstimmt.
}{Wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ = }{ { \left( X,Y^2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ Y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \notin }{ {\mathfrak a} {\mathfrak m}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Y^2 {\mathfrak m}^n
}
{ =} { { \left( X^{n} Y^2,X^{n-1}Y^3 , \ldots , XY^{n+1} , Y^{n+2} \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a} {\mathfrak m}^{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei den ersten $n$ Elementen kann man $X$ ausklammern, diese gehören somit zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X {\mathfrak m}^{n+1}
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a} {\mathfrak m}^{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Modulo
\mathl{{\mathfrak a} {\mathfrak m}^{n+1}}{} wird nur $Y^{n+2}$ nicht auf $0$ abgebildet, die Dimension des Bildes modulo
\mathl{{\mathfrak a} {\mathfrak m}^{n+1}}{} ist also
\mathl{1}{,} was
\zusatzklammer {für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
kleiner als die Dimension von
\mathl{{\mathfrak m}^n/ {\mathfrak m}^{n+1}}{} ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{10}
{
Beweise die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.
}
{
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ K[x_1 , \ldots , x_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $K_i$ der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von
\mathl{K[x_1 , \ldots , x_i]}{}
\zusatzklammer {innerhalb von $L$} {} {.}
Wir haben also eine Körperkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { K_0
}
{ \subseteq} { K_1
}
{ \subseteq} { \ldots
}
{ \subseteq} { K_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { L
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
Wir wollen zeigen, dass $L$ endlich über $K$ ist, und dazu genügt es
nach Satz 2.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
zu zeigen, dass jeder Schritt in der Körperkette endlich ist. Es sei angenommen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K_i
}
{ \subseteq }{ K_{i+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht endlich ist, aber alle folgenden Schritte endlich sind. Wir wenden
Lemma 10.5 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026))
auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq} { K_{i+1}
}
{ \subset} { L
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
an und erhalten, dass
\mathl{K_{i+1}}{}
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{}
über $K$ ist. Dann ist insbesondere
\mathl{K_{i+1}}{} auch endlich erzeugt über $K_i$. Andererseits ist
\mathl{K_{i+1}}{} der Quotientenkörper von
\mathl{K_i[x_{i+1}]}{.} Wir haben also eine Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_i
}
{ \subseteq} { K_i[x_{i+1}]
}
{ \subseteq} { Q( K_i[x_{i+1}])
}
{ =} { K_{i+1}
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wo
\mathl{K_{i+1}}{} endlich erzeugt über $K_i$ ist, aber nicht endlich. Wäre
\mathl{x_{i+1}}{}
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K_i$, so auch endlich, und dann wäre
\mathl{K_i[x_{i+1}]}{} bereits ein Körper
nach Aufgabe 10.1 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)).
Dann wäre die letzte Kette insgesamt endlich, im Widerspruch zur Wahl von $i$. Also ist
\mathl{x_{i+1}}{}
\definitionsverweis {transzendent}{}{}
über $K_i$. Dann ist aber
\mathl{K_i[x_{i+1}]}{} isomorph zu einem
\definitionsverweis {Polynomring in einer Variablen}{}{}
und
\mathl{Q( K_i[x_{i+1}])}{} ist isomorph zum
\definitionsverweis {rationalen Funktionenkörper}{}{}
über $K_i$. Dieser ist aber nach
Lemma 10.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026))
nicht endlich erzeugt, sodass sich erneut ein Widerspruch ergibt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ = }{ K[X_1 , \ldots , X_m ]/ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ K[Y_1 , \ldots , Y_n ]/ {\mathfrak b}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {endlich erzeugte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell
}
{ =} { \operatorname{max} \left( m ,\, n \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man das
$K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
vom
\definitionsverweis {Produktring}{}{}
\mathl{A \times B}{} als eine abgeschlossene Menge des
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ \ell +1 } }}{} realisieren kann.
}
{
Ohne Einschränkung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \geq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wir verwenden für $B$ die Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_n] / {\mathfrak b}
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_m] / {\mathfrak b} + { \left( X_{n+1} , \ldots , X_m \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei wir das um die Variablen erweiterte Ideal
\mathl{{\mathfrak b}'}{} nennen. Die beiden $K$-Spektren liegen damit als abgeschlossene Teilmengen im selben affinen Raum vor. Die Idee ist, durch eine zusätzliche Dimension
\zusatzklammer {eine zusätzliche Variable} {} {}
die beiden $K$-Spektren disjunkt zu realisieren. Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_m, Z]/ { \left( Z(Z-1), Z {\mathfrak a} , (Z-1) {\mathfrak b}' \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und behaupten, dass dessen $K$-Spektrum die disjunkte Vereinigung der beiden vorgegebenen Spektren ist. Wir betrachten also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { V { \left( Z(Z-1), Z {\mathfrak a} , (Z-1) {\mathfrak b}' \right) }
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ m+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der ersten Gleichung ist entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. $V$ ist die disjunkte Vereinigung von
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ V_0
}
{ =} { V { \left( Z, Z(Z-1), Z {\mathfrak a} , (Z-1) {\mathfrak b}' \right) }
}
{ =} { V { \left( Z, -1 {\mathfrak b}' \right) }
}
{ \cong} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[X_1 , \ldots , X_m, Z]/ { \left( Z, {\mathfrak b}' \right) } \right) }
}
{ \cong} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[X_1 , \ldots , X_n]/ {\mathfrak b} \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( B \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ V_1
}
{ =} { V { \left( Z-1, Z(Z-1), Z {\mathfrak a} , (Z-1) {\mathfrak b}' \right) }
}
{ =} { V { \left( Z-1, Z {\mathfrak a} \right) }
}
{ \cong} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[X_1 , \ldots , X_m, Z]/ { \left( Z-1, {\mathfrak a} \right) } \right) }
}
{ \cong} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[X_1 , \ldots , X_m]/ {\mathfrak a} \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( A \right) }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Ein Geldfälscher stellt $6-, 9-, 14-$ und $25-$Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} und die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} des zugehörigen numerischen Monoids.
}
{
Wir berechnen die Summen, die man aus den vier Zahlen bilden kann. Dabei gehen wir so vor, dass wir zu einer Summe aus den drei größeren Zahlen ein Vielfaches von $6$ dazuaddieren. Die Vielfachen von $6$ sind
\mathdisp {6,12,18,24,30, \ldots} { . }
Von $9$ ausgehend erhält man
\mathdisp {9,15,21,27, \ldots} { . }
Von $14$ ausgehend erhält man
\mathdisp {14,20,26, \ldots} { . }
Von $18=9+9$ ausgehend erhält man nichts neues. Von $23=9+14$ ausgehend erhält man
\mathdisp {23,29, \ldots} { . }
Dazu kommen noch $27=9+9+9$ und $28=14+14$. Wegen der $25$ gehören alle sechs aufeinanderfolgenden Beträge
\mathl{23,24,25,26,27,28,}{} zum Monoid, sodass auch alle folgenden Zahlen dazugehören. Die kleinste Zahl, die nicht dazugehört, ist die $22$, da sie in der Liste nicht auftaucht. Somit ist
\mathl{23}{} die Führungszahl. Die Multiplizität ist die kleinste Zahl, also $6$, und die Einbettungszahl ist $4$, da keine der vier Zahlen überflüssig ist. Der Singularitätsgrad ist die Anzahl der Lücken, die Lücken sind
\mathdisp {1,2,3,4,5, 7,8, 10,11,13,16,17,19,22} { . }
Der Singularitätsgrad ist also $14$, das sind die Beträge, die er nicht begleichen kann.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{ K[X_0 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$. Zeige, dass für einen Punkt
\mathl{\left( x_0 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} und einen Skalar $\lambda$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F \left( \lambda x_0 , \, \ldots , \, \lambda x_n \right)
}
{ =} { \lambda^d F \left( x_0 , \, \ldots , \, x_n \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Man folgere, dass $F$ in
\mathl{\left( x_0 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} genau dann verschwindet, wenn $F$ für ein beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\lambda \left( x_0 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} verschwindet.
}
{
Dies kann man auf den Fall eines
\definitionsverweis {Monoms}{}{}
vom Grad $d$ zurückführen. Für \mathkon { X_0^{d_0 } \cdots X_n^{d_n } } { mit } { \sum_{i=0}^n d_i=d }{ } und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\lambda X_0)^{d_0 } \cdots (\lambda X_n)^{d_n }
}
{ =} { (\lambda^{d_0 } X_0^{d_0 }) \cdots ( \lambda^{d_n } X_n^{d_n } )
}
{ =} { \lambda^d ( X_0^{d_0 } \cdots X_n^{d_n })
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb P}^{1}_{ K } } { {\mathbb P}^{1}_{ K } } {(s,t)} { (t,s) } {.}
}
{
Da die Koordinaten eines Punktes auf der projektiven Geraden bis auf Multiplikation mit einem Skalar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig festgelegt sind, haben wir die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(s,t)
}
{ =} { \lambda (t,s)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ = }{ \lambda t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{ \lambda s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies führt auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{ \lambda^2 t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da nicht beide Koordinaten $0$ sein dürfen, darf hier überhaupt keine Koordinate gleich $0$ sein, und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da wir $t$ zu $1$ normieren können, gibt es die beiden Fixpunkte
\mathdisp {(1,1) \text{ und } (1,-1)} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Bestätige
den Satz von Bezout
für die beiden
\zusatzklammer {über ${\mathbb C}$ affin gegebenen} {} {}
Kreise
\mathdisp {V{ \left( X^2+Y^2-1 \right) } \text{ und } V{ \left( X^2+Y^2-4 \right) }} { . }
}
{
Da die beiden Polynome das Einheitsideal in
\mathl{{\mathbb C}[X,Y]}{} erzeugen, gibt es in
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C} }}{} keinen Schnittpunkt. Die homogenen Polynome sind
\mathdisp {X^2+Y^2-Z^2 \text{ und } X^2+Y^2-4Z^2} { . }
Die Schnittpunkte auf
\mathl{V_+(Z)}{} ergeben isch, wenn man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt. Dies führt auf die Bedingung
\mathl{V_+ { \left( X^2+Y^2 \right) }}{} mit den beiden Lösungen
\mathkor {} {(1, { \mathrm i} , 0)} {und} {(1, - { \mathrm i} , 0)} {.}
Die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{}
kann man auf
\mathl{D_+(X)}{} berechnen, die beschreibenden Polynome sind
\mathdisp {1+Y^2-Z^2 \text{ und } 1+Y^2-4Z^2} { }
mit den beiden Schnittpunkten
\mathkor {} {({ \mathrm i} , 0 )} {und} {(-{ \mathrm i} , 0 )} {.}
Mit der verschobenen Variablen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W
}
{ =} { Y - { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
geht es um den Nullpunkt und die beiden Polynome
\mathkor {} {W^2 +2 { \mathrm i} W - Z^2} {und } {W^2 +2 { \mathrm i} W - 4Z^2} {.}
Es geht also um den Restklassenring
\zusatzklammer {letztlich seine Lokalisierung} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ {\mathbb C} [W,Z]/ { \left( W^2 +2 { \mathrm i} W - Z^2, W^2 +2 { \mathrm i} W - 4Z^2 \right) }
}
{ =} { {\mathbb C} [W,Z]/ { \left( W^2 +2 { \mathrm i} W - Z^2, 3 Z^2 \right) }
}
{ =} { {\mathbb C} [W,Z]/ { \left( W^2 +2 { \mathrm i} W , Z^2 \right) }
}
{ =} { {\mathbb C} [W,Z]/ { \left( W (W +2 { \mathrm i} ) , Z^2 \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
In der Lokalisierung am maximalen Ideal ist
\mathl{W +2 { \mathrm i}}{} eine Einheit, deshalb ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C} [W,Z]_{(W,Z)} / { \left( W (W +2 { \mathrm i} ) , Z^2 \right) }
}
{ =} { {\mathbb C} [W,Z]_{(W,Z)} / { \left( W , Z^2 \right) }
}
{ =} { {\mathbb C} [Z]/ { \left( Z^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die Schnittmultiplizität ist also $2$. Das gleiche Argument zeigt, dass auch im anderen Schnittpunkt die Schnittmultiplizität gleich $2$ ist. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2+2
}
{ =} { 4
}
{ =} { 2 \cdot 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stimmt der Satz von Bezout.
}