Kurs:Algebraische Kurven/2/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 4 7 4 6 4 8 4 4 4 3 2 1 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring .
  2. Ein Untermodul zu einem -Modul .
  3. Eine Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System in einem kommutativen Ring .
  4. Eine affine Varietät.
  5. Eine monomiale Kurve.
  6. Die Schnittmultiplizität zu zwei ebenen algebraischen Kurven und ohne gemeinsame Komponente in einem Punkt .


Lösung

  1. Man nennt

    das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.

  2. Eine Teilmenge heißt -Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ist und wenn für jedes und auch ist.
  3. Man nennt den Unterring

    die Nenneraufnahme zu .

  4. Unter einer affinen Varietät versteht man das -Spektrum zu einer -Algebra von endlichem Typ , wobei alle Zariski-offenen Mengen mit dem Ring der algebraischen Funktionen versehen sind.
  5. Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden unter einer Abbildung der Form

    mit für alle .

  6. Unter der Schnittmultiplizität von und in versteht man die Dimension


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge in irreduzible Komponenten.
  2. Die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.
  3. Der Satz über Einheiten im Potenzreihenring .


Lösung

  1. Sei eine affin-algebraische Menge. Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung

    mit

    irreduziblen Mengen mit für .
  2. Sei ein Körper und sei eine Körpererweiterung, die (als -Algebra) endlich erzeugt sei. Dann ist endlich über .
  3. Sei ein Körper und sei der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen. Dann ist eine formale Potenzreihe genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

einen Punkt.


Lösung

Wir betrachten den Schnitt der Kurve mit der Geraden , also die zusätzliche Bedingung, dass ist. In die Kurvengleichung setzen wir also ein und erhalten die Bedingung

Die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung liefert

Daher ist

ein Punkt der Kurve.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.


Lösung

Sei zunächst ein Primideal. Dann ist insbesondere und somit ist der Restklassenring nicht der Nullring. Sei in wobei durch Elemente in repräsentiert seien. Dann ist und damit oder , was in gerade oder bedeutet.

Ist umgekehrt ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist . Sei . Dann ist in und daher in , also ist .


Aufgabe (7 (4+3) Punkte)

Wir betrachten den kommutativen Ring

und darin das Ideal

wobei gleich  oder sei.

  1. Zeige, dass im komplexen Fall das Ideal ein Hauptideal ist. Man gebe einen Erzeuger an.
  2. Zeige, dass im reellen Fall das Ideal kein Hauptideal ist.


Lösung

  1. Wir behaupten, dass

    ein Idealerzeuger des Ideals ist. Zunächst gehört

    zum Ideal. Wegen

    sind und Einheiten. Es ist

    daher gehört zu . Wegen

    gehört auch dazu.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis bei der Durchführung eines ersten Experiments eintritt und sei die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis bei der Durchführung eines zweiten Experiments eintritt. Die beiden Experimente werden unabhängig voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse haben dann eine von und abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die polynomiale Abbildung

auf.

  1. Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
  2. Beschreibe das Bild der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.


Lösung

  1. Aus

    hat man direkt

    und

    Daher lassen sich die Eingangsvariablen aus den Polynomen rekonstruieren, was die Injektivität bedeutet.

  2. Wir arbeiten mit den vier Variablen

    weiter. Mit den Beziehungen

    und

    sieht man, dass man und eliminieren kann. Diese zwei Gleichungen beschreiben also das Bild vollständig.


Aufgabe (6 Punkte)

Sei der Nullpunkt in der reellen Ebene und . Es sei eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte mit der Eigenschaft, dass der Abstand proportional mit Proportionalitätsfaktor zum (senkrechten) Abstand ist.

Zeigen Sie, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei eine Ellipse, bei eine Parabel und bei eine Hyperbel vorliegt.


Lösung

Der Abstand von zum Nullpunkt ist und der senkrechte Abstand zurAchse ist . Die Proportionalität drückt man durch

aus. Also ist

Somit ist

eine algebraische Gleichung für eine Kurve, auf der alle Punkte liegen, die die Bedingung erfüllen. Bei wird die Gleichung zu

so dass in diesem Fall eine Parabel vorliegt. Sei also im Folgenden. Die allgemeine Gleichung kann man zu

umformen und durch quadratisches Ergänzen auf die Form

bringen. Dies schreiben wir als

Der Faktor ist für positiv und für negativ. Im ersten Fall liegt also nach Koordinatenwechsel eine Gleichung der Form

also eine Ellipse, und im zweiten Fall liegt

vor, also eine Hyperbel.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch noethersche Induktion, dass jede affin-algebraische Menge eine endliche Zerlegung in irreduzible affin-algebraische Mengen besitzt.


Lösung

Angenommen, nicht jede affin-algebraische Menge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir , ohne eine solche Zerlegung. kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung . Da und echte Teilmengen von sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer Darstellung von , was ein Widerspruch ist.


Aufgabe (8 Punkte)

Sei ein Körper und sei eine endlich erzeugte kommutative -Algebra mit -Spektrum . Es sei eine Restklassendarstellung von mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

und dem Nullstellengebilde . Zeige, dass die die Abbildung

eine Bijektion zwischen und stiftet, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.


Lösung

Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung

einen -Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach definiert, der nach Lemma 12.3 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) der Einsetzungshomomorphismus zu ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann (und zwar ist ).

Da der Homomorphismus durch faktorisiert, wird das Ideal auf abgebildet. D.h. der Bildpunkt liegt in , und es liegt eine Abbildung

vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.

Seien dazu zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene -Algebrahomomorphismen vor, und da ein -Algebrahomomorphismus auf einem -Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h. , und die Abbildung ist injektiv.

Zur Surjektivität sei ein Punkt vorgegeben. Der zugehörige -Algebrahomomorphismus

annulliert daher jedes , so dass dieser Ringhomomorphismus durch faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus .

Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für und ein Urbild und einen Punkt mit Bildpunkt gilt:

so dass auch die Nullstellen übereinstimmen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei das durch die Erzeuger mit der Relation

gegebene kommutative Monoid und es sei ein endlicher Körper mit Elementen. Bestimme die Anzahl des -Spektrums von .


Lösung

Es geht um die Anzahl der Monoidhomomorphismen

Ein solcher Homomorphismus ist durch ein Tupel

gegeben, das die Bedingung

erfüllt. Bei ist und damit auch , und für kann man ein beliebiges Element aus einsetzen. Dies ergibt Möglichkeiten. Bei , wofür es Möglichkeiten gibt, ist

d.h. ist durch die Belegungen von und eindeutig bestimmt. Dafür gibt es Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

Punkte im -Spektrum von .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme sämtliche Teiler von im Ring , wobei ein Körper ist.


Lösung

Die Teiler von sind genau die Elemente der Form

Solche Elemente sind Teiler, da ja

gilt. Wenn umgekehrt mit ein Teiler von ist, so gibt es ein mit entsprechend und mit

Dabei seien die angeführten Koeffizienten . Das Produkt ist daher von der Form

Dies kann nur dann gleich sein, wenn

ist, was nur bei möglich ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve


Lösung

Sei das beschreibende Polynom. Die partiellen Ableitungen sind

Wir setzen beide Polynome gleich null. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich und daher

In der ersten Gleichung können wir ausklammern, welches nicht null ist, so dass sein muss, also ist ebenfalls . Für wird die Kurvengleichung zu

Bei ergibt sich der Wert

so dass ein Punkt der Kurve ist. Bei ergibt sich hingegen

so dass dies kein Punkt der Kurve ist. Die einzige Singularität der Kurve ist also .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein normaler Integritätsbereich und , . Zeige, dass die Nenneraufnahme ebenfalls normal ist.


Lösung

Sei ein Element im Quotientenkörper und angenommen, dass es eine Ganzheitsgleichung über erfüllt. Es gibt also eine Gleichung der Form

mit . D.h. die lassen sich schreiben als Brüche, deren Nenner Potenzen von sind. Man kann dann annehmen, dass alle Brüche mit einer festen Potenz als Nenner geschrieben sind, und da man zu einer größeren Potenz übergehen kann, darf man auch annehmen, dass ein Vielfaches von ist. Wir multiplizieren die Gleichung mit und erhalten

Dabei sind alle Koeffizienten aus und daher liegt eine Ganzheitsgleichung für vor. Wegen der Normalität von bedeutet dies , also .


Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die beiden reellen Kurven

im Punkt und

im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander diffeomorph?


Lösung

Die partielle Ableitung des ersten Polynoms nach ist

was im angegebenen Punkt den Wert hat, und die partielle Ableitung des zweiten Polynoms nach ist

was im angegebenen Punkt den Wert hat. Also sind beide Kurven in den Punkten glatt und nach dem Satz über implizite Abbildungen somit lokal diffeomorph zu einem offenen reellen Intervall und damit auch untereinander diffeomorph.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die projektive Nullstellenmenge


Lösung Projektive Ebene/V +(XYZ)/Skizziere/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Bestimme für die beiden affinen Kurven

ihre Schnittpunkte zusammen mit den Schnittmultiplizitäten. Betrachte auch Schnittpunkte im und bestätige den Satz von Bezout in diesem Beispiel.


Lösung

Die Schnittpunkte der beiden Kurven im sind durch gegeben. Das heißt für einen Schnittpunkt muss gelten

Wir setzen die erste Gleichung in die zweite ein und erhalten . Also ist oder . Folglich sind die Schnittpunkte gegeben durch

wobei eine primitive dritte Einheitswurzel ist. Im Nullpunkt ist der Restklassenring gleich

Dieser hat die Dimension drei, so dass also die Schnittmultiplizität dort ist.

Zur Bestimmung der Schnittmultiplizitäten in den drei anderen Punkten berechnen wir die partiellen Ableitungen, das ergibt einerseits

und andererseits

Da ist, sind diese beiden Richtungen linear unabhängig, so dass beide Kurven in diesen Punkten glatt sind und ein transversaler Schnitt vorliegt, also Schnittmultiplizität eins.

Im Projektiven müssen wir die beiden Ideale homogenisieren, d.h. wir betrachten und . Mit erhalten wir, dass sein muss, und finden also den Schnittpunkt . Eine affine Umgebung wird durch gegeben, mit den affinen Gleichungen und . Da dies die Ausgangsgleichungen sind, ist dort die Schnittmultiplizität wieder gleich . Die Summe der Schnittmultiplizitäten ist also , was auch dem Produkt der beiden Kurvengrade entspricht.