Kurs:Algebraische Kurven/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	4	7	4	6	4	8	4	4	4	3	2	1	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Nullstellenmenge zu einer Menge an Polynomen im Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.
2. Ein Untermodul ${}U\subseteq M$ zu einem ${}R$- Modul ${}M$.
3. Eine Nenneraufnahme zu einem multiplikativen System ${}S\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Eine affine Varietät.
5. Eine monomiale Kurve.
6. Die Schnittmultiplizität zu zwei ebenen algebraischen Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ ohne gemeinsame Komponente in einem Punkt ${}P\in V(F)\cap V(G)$.

Lösung

1. Man nennt

   ${\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}$

   das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.

2. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt ${}R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes ${}u\in U$ und ${}r\in R$ auch ${}ru\in U$ ist.
3. Man nennt den Unterring

   ${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$

   die Nenneraufnahme zu ${}S$.

4. Unter einer affinen Varietät versteht man das ${}K$- Spektrum zu einer ${}K$- Algebra von endlichem Typ ${}R$, wobei alle Zariski-offenen Mengen ${}U$ mit dem Ring der algebraischen Funktionen ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ versehen sind.
5. Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ unter einer Abbildung der Form

   ${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,t\longmapsto \left(t^{e_{1}},\,\ldots ,\,t^{e_{n}}\right),$

   mit ${}e_{i}\geq 1$ für alle ${}i$.

6. Unter der Schnittmultiplizität von ${}V(F)$ und ${}V(G)$ in ${}P$ versteht man die Dimension

   $\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{P}/(F,G)\right)}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ in irreduzible Komponenten.
2. Die algebraische Version des Hilbertschen Nullstellensatzes.
3. Der Satz über Einheiten im Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$.

Lösung

1. Es sei ${}V\subset \mathbb {A} _{K}^{n}$ eine affin-algebraische Menge. Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung

   ${}V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}\,$

   mit irreduziblen Mengen ${}V_{i}$ mit ${}V_{i}\not \subseteq V_{j}$ für ${}i\neq j$.
2. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, die (als ${}K$-Algebra) endlich erzeugt sei. Dann ist ${}L$ endlich über ${}K$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen. Dann ist eine formale Potenzreihe ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term ${}a_{0}\neq 0$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde auf der ebenen algebraischen Kurve

${}V(X^{3}-Y^{3}+4X^{2}-2XY+Y+3)\subset {\mathbb {C} }^{2}\,$

einen Punkt.

Lösung

Wir betrachten den Schnitt der Kurve mit der Geraden ${}V(X-Y)$, also die zusätzliche Bedingung, dass ${}X=Y$ ist. In die Kurvengleichung setzen wir also ${}Y=X$ ein und erhalten die Bedingung

${}X^{3}-X^{3}+4X^{2}-2XX+X+3=2X^{2}+X+3=0\,.$

Die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung liefert

${}X=-{\frac {1}{4}}\pm {\sqrt {-{\frac {23}{16}}}}=-{\frac {1}{4}}\pm {\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {23}}{4}}\,.$

Daher ist

$\left({\frac {-1+{\sqrt {23}}{\mathrm {i} }}{4}},\,{\frac {-1+{\sqrt {23}}{\mathrm {i} }}{4}}\right)$

ein Punkt der Kurve.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Ideal. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich ist.

Lösung

Es sei zunächst ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist insbesondere ${}{\mathfrak {p}}\subset R$ und somit ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {p}}$ nicht der Nullring. Sei ${}fg=0$ in ${}R/{\mathfrak {p}}$ wobei ${}f,g$ durch Elemente in ${}R$ repräsentiert seien. Dann ist ${}fg\in {\mathfrak {p}}$ und damit ${}f\in {\mathfrak {p}}$ oder ${}g\in {\mathfrak {p}}$. was in ${}R/{\mathfrak {p}}$ gerade ${}f=0$ oder ${}g=0$ bedeutet.

Ist umgekehrt ${}R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist ${}{\mathfrak {p}}\neq R$. Sei ${}f,g\notin {\mathfrak {p}}$. Dann ist ${}f,g\neq 0$ in ${}R/{\mathfrak {p}}$ und daher ${}fg\neq 0$ in ${}R/{\mathfrak {p}}$, also ist ${}fg\notin {\mathfrak {p}}$.

Aufgabe (7 (4+3) Punkte)

Wir betrachten den kommutativen Ring

${}R={\mathbb {K} }[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\,$

und darin das Ideal

${}{\mathfrak {a}}=(X,Y-1)\,,$

wobei ${}{\mathbb {K} }$ gleich ${}\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$ sei.

1. Zeige, dass im komplexen Fall das Ideal ein Hauptideal ist. Man gebe einen Erzeuger an.
2. Zeige, dass im reellen Fall das Ideal kein Hauptideal ist.

Lösung

1. Wir behaupten, dass

   $X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }$

   ein Idealerzeuger des Ideals ${}{\mathfrak {a}}$ ist. Zunächst gehört

   ${}X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }=X+{\mathrm {i} }(Y-1)\,$

   zum Ideal. Wegen

   ${}1=X^{2}+Y^{2}=(X+{\mathrm {i} }Y)(X-{\mathrm {i} }Y)\,$

   sind ${}X+{\mathrm {i} }Y$ und ${}X-{\mathrm {i} }Y$ Einheiten. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }Y+{\mathrm {i} }\right)}&=X^{2}+2{\mathrm {i} }XY-Y^{2}+1\\&=2X^{2}+2{\mathrm {i} }XY\\&=2X{\left(X+{\mathrm {i} }Y\right)},\end{aligned}}$

   daher gehört ${}X$ zu ${}{\left(X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }\right)}$. Wegen

   ${}{\begin{aligned}{\left(X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }\right)}{\left(X+{\mathrm {i} }Y-{\mathrm {i} }\right)}&=X^{2}-Y^{2}-1+2{\mathrm {i} }XY-2{\mathrm {i} }X+2Y\\&=-2Y^{2}+2{\mathrm {i} }XY-2{\mathrm {i} }X+2Y\\&=2{\mathrm {i} }(X+{\mathrm {i} }Y)(Y-1)\end{aligned}}$

   gehört auch ${}Y-1$ dazu.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei ${}p\in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis ${}A$ bei der Durchführung eines ersten Experiments eintritt und sei ${}q\in [0,1]$ die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis ${}B$ bei der Durchführung eines zweiten Experiments eintritt. Die beiden Experimente werden unabhängig voneinander durchgeführt. Die möglichen Gesamtereignisse ${}(A,B),(A,\neg B),(\neg A,B),(\neg A,\neg B)$ haben dann eine von ${}p$ und ${}q$ abhängige Wahrscheinlichkeit. Diese Abhängigkeit fassen wir als die polynomiale Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{4}},\,(p,q)\longmapsto \left(pq,\,p(1-q),\,(1-p)q,\,(1-p)(1-q)\right)=\left(x,\,y,\,z,\,w\right),$

auf.

1. Zeige, dass die Abbildung injektiv ist.
2. Beschreibe das Bild der Abbildung vollständig durch polynomiale Gleichungen.

Lösung

1. Aus

   ${}\left(x,\,y,\,z,\,w\right)=\left(pq,\,p(1-q),\,(1-p)q,\,(1-p)(1-q)\right)=\left(pq,\,p-pq,\,q-pq,\,pq-p-q+1\right)\,$

   hat man direkt

   ${}p=pq+p-pq=x+y\,$

   und

   ${}q=pq+q-pq=x+z\,.$

   Daher lassen sich die Eingangsvariablen aus den Polynomen rekonstruieren, was die Injektivität bedeutet.

2. Wir arbeiten mit den vier Variablen

   $x,u=p=x+y,v=q=x+z,w$

   weiter. Mit den Beziehungen

   ${}x=uv\,$

   und

   ${}w=uv-u-v+1\,$

   sieht man, dass man ${}x$ und ${}w$ eliminieren kann. Diese zwei Gleichungen beschreiben also das Bild vollständig.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}F=(0,0)$ der Nullpunkt in der reellen Ebene und ${}G=V(X-1)$. Es sei ${}e>0$ eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte ${}P=(x,y)$ mit der Eigenschaft, dass der Abstand ${}d(P,F)$ proportional mit Proportionalitätsfaktor ${}{\sqrt {e}}$ zum (senkrechten) Abstand ${}d(P,G)$ ist.

Zeigen Sie, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei ${}e<1$ eine Ellipse, bei ${}e=1$ eine Parabel und bei ${}e>1$ eine Hyperbel vorliegt.

Lösung

Der Abstand von ${}P=(x,y)$ zum Nullpunkt ist ${}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ und der senkrechte Abstand zurAchse ${}x=1$ ist ${}|x-1|$. Die Proportionalität drückt man durch

${}{\frac {d(P,F)}{d(P,G)}}={\sqrt {e}}\,$

aus. Also ist

${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {e}}(x-1){\text{ bzw. }}x^{2}+y^{2}=e(x-1)^{2}.$

Somit ist

${}(1-e)x^{2}+y^{2}+2ex-e=0\,$

eine algebraische Gleichung für eine Kurve, auf der alle Punkte liegen, die die Bedingung erfüllen. Bei ${}e=1$ wird die Gleichung zu

$y^{2}+2ex-e=0{\text{ bzw. }}x=-{\frac {1}{2e}}y^{2}+{\frac {1}{2}},$

sodass in diesem Fall eine Parabel vorliegt. Es sei also ${}e\neq 1$ im Folgenden. Die allgemeine Gleichung kann man zu

${}x^{2}+{\frac {1}{1-e}}y^{2}+{\frac {2e}{1-e}}x-{\frac {e}{1-e}}=0\,$

umformen und durch quadratisches Ergänzen auf die Form

${}{\left(x+{\frac {e}{1-e}}\right)}^{2}+{\frac {1}{1-e}}y^{2}-{\frac {e^{2}}{(1-e)^{2}}}-{\frac {e}{1-e}}=0\,$

bringen. Dies schreiben wir als

${}{\begin{aligned}{\left(x+{\frac {e}{1-e}}\right)}^{2}+{\frac {1}{1-e}}y^{2}&={\frac {e^{2}}{(1-e)^{2}}}+{\frac {e}{1-e}}\\&={\frac {e^{2}-e^{2}+e}{(1-e)^{2}}}\\&=:c\\&>0.\end{aligned}}$

Der Faktor ${}{\frac {1}{1-e}}$ ist für ${}e<1$ positiv und für ${}e>1$ negativ. Im ersten Fall liegt also nach Koordinatenwechsel eine Gleichung der Form

${}{\tilde {x}}^{2}+{\tilde {y}}^{2}=c\,,$

also eine Ellipse, und im zweiten Fall liegt

${}{\tilde {x}}^{2}-{\tilde {y}}^{2}=c\,$

vor, also eine Hyperbel.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch noethersche Induktion, dass jede affin-algebraische Menge eine endliche Zerlegung in irreduzible affin-algebraische Mengen besitzt.

Lösung

Angenommen, nicht jede affin-algebraische Menge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir ${}V$, ohne eine solche Zerlegung. ${}V$ kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung ${}V=V_{1}\cup V_{2}$. Da ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ echte Teilmengen von ${}V$ sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer Darstellung von ${}V$, was ein Widerspruch ist.

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$- Algebra mit ${}K$- Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von ${}R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

$\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$

und dem Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Zeige, dass die die Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$

eine Bijektion zwischen ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}V({\mathfrak {a}})$ stiftet, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.

Lösung

Zunächst ist die angegebene Abbildung wohldefiniert, da die Hintereinanderschaltung

$P\circ \varphi :K[X_{1},\ldots ,X_{n}]{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\cong R{\stackrel {P}{\longrightarrow }}K$

einen ${}K$-Algebrahomomorphismus vom Polynomring nach ${}K$ definiert, der nach Lemma 12.3 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) der Einsetzungshomomorphismus zu ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ist und mit dem entsprechenden Punkt des affinen Raumes identifiziert werden kann (und zwar ist $a_{i}=P(\varphi (X_{i}))$).

Da der Homomorphismus ${}P\circ \varphi$ durch ${}R$ faktorisiert, wird das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ auf ${}0$ abgebildet. D.h. der Bildpunkt ${}P\circ \varphi =(a_{1},\ldots ,a_{n})$ liegt in ${}V({\mathfrak {a}})$, und es liegt eine Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$

vor, die wir als bijektiv nachweisen müssen.

Es seien dazu ${}P_{1},P_{2}\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ zwei verschiedene Punkte. Es liegen also zwei verschiedene ${}K$-Algebrahomomorphismen vor, und da ein ${}K$-Algebrahomomorphismus auf einem ${}K$-Algebra-Erzeugendensystem festgelegt ist, müssen sich die beiden auf mindestens einer Variablen unterscheiden. Dann ist aber auch der Wert der zugehörigen Koordinate verschieden, d.h. ${}P_{1}\circ \varphi \neq P_{2}\circ \varphi$, und die Abbildung ist injektiv.

Zur Surjektivität sei ein Punkt ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V({\mathfrak {a}})$ vorgegeben. Der zugehörige ${}K$-Algebrahomomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K,\,X_{i}\longmapsto a_{i},$

annulliert daher jedes ${}F\in {\mathfrak {a}}$, sodass dieser Ringhomomorphismus durch ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ faktorisiert. Dieser Ringhomomorphismus ist das gesuchte Urbild aus ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$.

Zur Topologie muss man einfach nur beachten, dass für ${}G\in R$ und ein Urbild ${}{\tilde {G}}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ und einen Punkt ${}P\in K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ mit Bildpunkt ${}{\tilde {P}}=P\circ \varphi \in V({\mathfrak {a}})$ gilt:

${}G(P)=P(G)=P(\varphi ({\tilde {G}}))=(P\circ \varphi )({\tilde {G}})={\tilde {G}}({\tilde {P}})\,,$

sodass auch die Nullstellen übereinstimmen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}M$ das durch die Erzeuger ${}e,f,g$ mit der Relation

${}e+f=2g\,$

gegebene kommutative Monoid und es sei ${}{\mathbb {F} }_{q}$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen. Bestimme die Anzahl des ${}{\mathbb {F} }_{q}$- Spektrums von ${}M$.

Lösung

Es geht um die Anzahl der Monoidhomomorphismen

$\varphi \colon (M,+,0)\longrightarrow ({\mathbb {F} }_{q},\cdot ,1).$

Ein solcher Homomorphismus ist durch ein Tupel

${}(x,y,z)=(\varphi (e),\varphi (f),\varphi (g))\in {\mathbb {F} }_{q}^{3}\,$

gegeben, das die Bedingung

${}xy=z^{2}\,$

erfüllt. Bei ${}y=0$ ist ${}z^{2}=0$ und damit auch ${}z=0$, und für ${}x$ kann man ein beliebiges Element aus ${}{\mathbb {F} }_{q}$ einsetzen. Dies ergibt ${}q$ Möglichkeiten. Bei ${}y\neq 0$, wofür es ${}q-1$ Möglichkeiten gibt, ist

${}x={\frac {z^{2}}{y}}\,,$

d.h. ${}x$ ist durch die Belegungen von ${}y$ und ${}z$ eindeutig bestimmt. Dafür gibt es ${}(q-1)q$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also

${}q+(q-1)q=q^{2}\,$

Punkte im ${}{\mathbb {F} }_{q}$-Spektrum von ${}M$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme sämtliche Teiler von ${}X$ im Ring ${}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$, wobei ${}K$ ein Körper ist.

Lösung

Die Teiler von ${}X$ sind genau die Elemente der Form

$aX^{q}{\text{ mit }}a\neq 0{\text{ und }}q\in \mathbb {Q} _{\geq 0},q\leq 1.$

Solche Elemente sind Teiler, da ja

${}{\left(aX^{q}\right)}{\left(a^{-1}X^{1-q}\right)}=X^{q}X^{1-q}=X^{q+1-q}=X\,$

gilt. Wenn umgekehrt ${}P=a_{q_{1}}X^{q_{1}}+a_{q_{2}}X^{q_{2}}+\cdots +a_{q_{n}}X^{q_{n}}$ mit ${}0\leq q_{1}<q_{2}<\ldots <q_{n}$ ein Teiler von ${}X$ ist, so gibt es ein ${}Q=b_{r_{1}}X^{r_{1}}+b_{r_{2}}X^{r_{2}}+\cdots +b_{r_{m}}X^{r_{m}}$ mit entsprechend ${}0\leq r_{1}<r_{2}<\ldots <r_{m}$ und mit

${}PQ=X\,.$

Dabei seien die angeführten Koeffizienten ${}\neq 0$. Das Produkt ist daher von der Form

$a_{q_{1}}b_{r_{1}}X^{q_{1}+r_{1}}+\cdots +a_{q_{n}}b_{r_{n}}X^{q_{n}+r_{m}}.$

Dies kann nur dann gleich ${}X$ sein, wenn

${}q_{1}+r_{1}=q_{n}+r_{m}\,$

ist, was nur bei ${}n=m=1$ möglich ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die singulären Punkte der ebenen algebraischen Kurve

$V{\left(-2X^{3}+3X^{2}Y-Y+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)}\subset {\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}.$

Lösung

Es sei ${}F$ das beschreibende Polynom. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial F}{\partial X}}=-6X^{2}+6XY{\text{ und }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}=3X^{2}-1.$

Wir setzen beide Polynome gleich null. Aus der zweiten Gleichung ergibt sich ${}x^{2}={\frac {1}{3}}$ und daher

$x=\pm {\sqrt {\frac {1}{3}}}.$

In der ersten Gleichung können wir ${}6X$ ausklammern, welches nicht null ist, sodass ${}x=y$ sein muss, also ist ebenfalls ${}y=\pm {\sqrt {\frac {1}{3}}}$. Für ${}x=y$ wird die Kurvengleichung zu

$x^{3}-x+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}.$

Bei ${}x={\sqrt {\frac {1}{3}}}$ ergibt sich der Wert

${\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}-{\sqrt {\frac {1}{3}}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}=0,$

sodass ${}\left({\sqrt {\frac {1}{3}}},\,{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)$ ein Punkt der Kurve ist. Bei ${}x=y=-{\sqrt {\frac {1}{3}}}$ ergibt sich hingegen

$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}+{\sqrt {\frac {1}{3}}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {\frac {1}{3}}}\neq 0,$

sodass dies kein Punkt der Kurve ist. Die einzige Singularität der Kurve ist also ${}\left({\sqrt {\frac {1}{3}}},\,{\sqrt {\frac {1}{3}}}\right)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Zeige, dass die Nenneraufnahme ${}R_{f}$ ebenfalls normal ist.

Lösung

Es sei ${}q\in Q(R)=Q(R_{f})$ ein Element im Quotientenkörper und angenommen, dass es eine Ganzheitsgleichung über ${}R_{f}$ erfüllt. Es gibt also eine Gleichung der Form

${}q^{n}+g_{n-1}q^{n-1}+\cdots +g_{1}q+g_{0}=0\,$

mit ${}g_{i}\in R_{f}$. D.h. die ${}g_{i}$ lassen sich schreiben als Brüche, deren Nenner Potenzen von ${}f$ sind. Man kann dann annehmen, dass alle Brüche mit einer festen Potenz ${}f^{k}$ als Nenner geschrieben sind, und da man zu einer größeren Potenz übergehen kann, darf man auch annehmen, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}n$ ist. Wir multiplizieren die Gleichung mit ${}f^{kn}$ und erhalten

${}(f^{k}q)^{n}+g_{n-1}f^{k}(f^{k}q)^{n-1}+\cdots +g_{1}f^{k(n-1)}(f^{k}q)+f^{kn}g_{0}=0\,.$

Dabei sind alle Koeffizienten aus ${}R$ und daher liegt eine Ganzheitsgleichung für ${}f^{k}q$ vor. Wegen der Normalität von ${}R$ bedeutet dies ${}f^{k}q\in R$, also ${}q=b/f^{k}\in R_{f}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte die beiden reellen Kurven

$V(X^{5}-X^{3}+2XY+7Y^{2}-9)$

im Punkt ${}(1,1)$ und

$V(X^{4}+Y^{4}-3X^{2}Y^{2}+5X+7Y)$

im Nullpunkt. Sind diese beiden Kurven lokal in den angegebenen Punkten zueinander diffeomorph?

Lösung

Die partielle Ableitung des ersten Polynoms nach ${}X$ ist

$5X^{4}-3X^{2}+2Y,$

was im angegebenen Punkt den Wert ${}4\neq 0$ hat, und die partielle Ableitung des zweiten Polynoms nach ${}X$ ist

$4X^{3}-6XY^{2}+5,$

was im angegebenen Punkt den Wert ${}5\neq 0$ hat. Also sind beide Kurven in den Punkten glatt und nach dem Satz über implizite Abbildungen somit lokal diffeomorph zu einem offenen reellen Intervall und damit auch untereinander diffeomorph.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die projektive Nullstellenmenge

${}V_{+}(XYZ)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,.$

Lösung Projektive Ebene/V +(XYZ)/Skizziere/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K={\mathbb {C} }$. Bestimme für die beiden affinen Kurven

$V{\left(Y-X^{3}\right)}{\text{ und }}V{\left(Y^{2}-X^{3}\right)}$

ihre Schnittpunkte zusammen mit den Schnittmultiplizitäten. Betrachte auch Schnittpunkte im ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ und bestätige den Satz von Bezout in diesem Beispiel.

Lösung

Die Schnittpunkte der beiden Kurven im ${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}$ sind durch ${}V(Y-X^{3},Y^{2}-X^{3})$ gegeben. Das heißt für einen Schnittpunkt ${}(x,y)$ muss gelten

$y=x^{3}\,\,{\text{ und }}\,\,y^{2}=x^{3}.$

Wir setzen die erste Gleichung in die zweite ein und erhalten ${}y(y-1)=0$. Also ist ${}y=0$ oder ${}y=1$. Folglich sind die Schnittpunkte gegeben durch

$\{(0,0),(1,1),(1,\zeta ),(1,\zeta ^{2})\},$

wobei ${}\zeta$ eine primitive dritte Einheitswurzel ist. Im Nullpunkt ist der Restklassenring gleich

${}K[X,Y]_{(X,Y)}/(Y-X^{3},Y^{2}-X^{3})=K[X]_{(X)}/(X^{3},X^{6}-X^{3})=K[X]/(X^{3})\,.$

Dieser hat die Dimension drei, sodass also die Schnittmultiplizität dort ${}3$ ist.

Zur Bestimmung der Schnittmultiplizitäten in den drei anderen Punkten berechnen wir die partiellen Ableitungen, das ergibt einerseits

$(1,-3x^{2})$

und andererseits

${}(2y,-3x^{2})=(2,-3x^{2})\,.$

Da ${}x\neq 0$ ist, sind diese beiden Richtungen linear unabhängig, sodass beide Kurven in diesen Punkten glatt sind und ein transversaler Schnitt vorliegt, also Schnittmultiplizität eins.

Im Projektiven müssen wir die beiden Ideale homogenisieren, d.h. wir betrachten ${}V_{+}(YZ^{2}-X^{3})$ und ${}V_{+}(Y^{2}Z-X^{3})$. Mit ${}z=0$ erhalten wir, dass ${}x=0$ sein muss, und finden also den Schnittpunkt ${}(0,1,0)$. Eine affine Umgebung wird durch ${}D_{+}(Y)$ gegeben, mit den affinen Gleichungen ${}Z^{2}-X^{3}$ und ${}Z-X^{3}$. Da dies die Ausgangsgleichungen sind, ist dort die Schnittmultiplizität wieder gleich ${}3$. Die Summe der Schnittmultiplizitäten ist also ${}9$, was auch dem Produkt der beiden Kurvengrade entspricht.