Kurs:Algebraische Kurven/5/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 1 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {affin-algebraische} {} Menge.
}{Eine
\stichwort {rationale Parametrisierung} {}
einer affin-algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {zusammenhängender} {} Ring $R$.
}{Ein
\stichwort {ganzes Element} {}
\mathl{x \in S}{} bei einer Ringerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein
\stichwort {glatter} {}
Punkt $P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{ V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein
\stichwort {homogenes} {}
Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im affinen Raum heißt affin-algebraisch, wenn sie die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
zu einer Familie
\mathbed {F_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
von Polynomen
\mathl{F_j \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ist.
}{Zwei rationale Funktionen
\mathl{\varphi_1=\frac{P_1}{Q_1}}{} und
\mathl{\varphi_2=\frac{P_2}{Q_2}}{} mit
\mathbed {P_1, P_2,Q_1,Q_2 \in K[T]} {}
{Q_1,Q_2 \neq 0} {}
{} {} {} {,}
heißen eine rationale Parametrisierung der algebraischen Kurve
\mathl{V(F)}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(\varphi_1(T), \varphi_2(T))
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und
\mathl{(\varphi_1,\varphi_2)}{} nicht konstant ist.
}{Ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
$R$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei
\definitionsverweis {idempotente Elemente}{}{}
\zusatzklammer {nämlich \mathlk{0 \neq 1}{}} {} {}
enthält.
}{Das Element
\mathl{x \in S}{} heißt ganz
\zusatzklammer {über $R$} {} {,}
wenn $x$ eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.
}{Der Punkt $P$ heißt glatt, wenn
\mathdisp {\frac{\partial F}{\partial X} (P) \neq 0 \text{ oder } \frac{\partial F}{\partial Y} (P) \neq 0} { }
gilt.
}{Die Homogenität des Ideals ${\mathfrak a}$ bedeutet, dass für jedes
\mathl{H \in {\mathfrak a}}{} mit homogener Zerlegung
\mathl{H=\sum_{i } H_i}{} auch
\mathl{H_i \in {\mathfrak a}}{} ist für alle homogenen Bestandteile $H_i$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.}{Der Satz über die Beziehung von Radikalen und affin-algebraischen Mengen.}{Der Satz über die Summe der Schnittmultiplizitäten.}
}
{
\aufzaehlungdrei{\faktsituation {Es sei $C$ eine
\definitionsverweis {ebene affin-algebraische Kurve}{}{}
und sei $L$ eine Gerade in $K^2$.}
\faktfolgerung {Dann ist der Durchschnitt
\mathl{C \cap L}{} die ganze Gerade, oder er besteht nur aus endlich vielen Punkten.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}}{Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} und dem affinen Raum
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{.} Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} und Radikalidealen in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}}{Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien
\mathl{F,G \in K[X,Y]}{} Polynome ohne gemeinsamen Primteiler.
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( K[X,Y]/(F,G) \right) }
}
{ =} { \sum_{ P} \operatorname{mult} _{ { P} } ( F , G )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Man erläutere das Begriffspaar \anfuehrung{glatt}{} und \anfuehrung{singulär}{} anhand typischer Situationen im Rahmen der Theorie der algebraischen Kurven.
}
{ }
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
}
{
Der Einheitskreis ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Darin setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+ { \frac{ 1 }{ 49 } }
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ =} { { \frac{ 48 }{ 49 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2}
}
{ =} { \pm { \frac{ \sqrt{ 48 } }{ 7 } }
}
{ =} { \pm { \frac{ 4 \cdot \sqrt{ 3 } }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Die Schnittpunkte sind also
\mathkor {} {\left( { \frac{ 4 \cdot \sqrt{ 3 } }{ 7 } } , \, { \frac{ 1 }{ 7 } } \right)} {und} {\left( - { \frac{ 4 \cdot \sqrt{ 3 } }{ 7 } } , \, { \frac{ 1 }{ 7 } } \right)} {.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Anzahl der Punkte auf einer ebenen Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper.
}
{
Aufgrund von
Fakt *****
können wir annehmen, dass $F$ die Gestalt hat
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { X^d + P_{d-1}(Y)X^{d-1} + \cdots + P_1(Y)X+ P_0(Y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Polynomen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_i(Y)
}
{ \in }{ K[Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zu jedem beliebig vorgegebenen Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für $Y$ ergibt sich also ein normiertes Polynom in $X$ vom Grad $d$. Da der Körper algebraisch abgeschlossen ist, gibt es jeweils (mindestens) eine Nullstelle in $X$. D.h. zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mathl{(a,b)}{} eine Nullstelle von $F$ ist, also zur Kurve gehört. Da $K$ unendlich ist, gibt es also unendlich viele Punkte auf der Kurve.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Zeige, dass das Bild eines \definitionsverweis {Ideals}{}{} unter einem \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.
}
{
Beispielsweise ist $\Q$ in $\Q$ ein Ideal \zusatzklammer {das Einheitsideal} {} {,} aber $\Q$ ist als Teilmenge von $\R$ kein Ideal.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{R[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $R$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit
\definitionsverweis {Erzeugern}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ =} { (F_0, F_1 , \ldots , F_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_0
}
{ = }{ X-r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seien
\mathl{G_i}{} die Elemente aus $R$, die entstehen, wenn man in $F_i$ die Variable $X$ durch $r$ ersetzt. Zeige, dass eine
\definitionsverweis {Ringisomorphie}{}{}
der
\definitionsverweis {Restklassenringe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R[X] / {\mathfrak a}
}
{ \cong} { R/(G_1 , \ldots , G_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt.
}
{
Wir betrachten den
\zusatzklammer {surjektiven} {} {}
\definitionsverweis {Einsetzungshomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {R[X]} { R/(G_1 , \ldots , G_n)
} { X } { [r]
} {,}
der $X$ auf die Restklasse zu $r$ abbildet. Dabei wird
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_0
}
{ = }{ X-r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $0$ und die
\mathbed {F_i} {}
{i \geq 1} {}
{} {} {} {,}
werden auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abgebildet. Nach
dem Satz über den induzierten Ringhomorphismus
gibt es dann einen surjektiven Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\varphi} { R[X]/ {\mathfrak a} } { R/(G_1 , \ldots , G_n)
} {.}
Diesen müssen wir als injektiv nachweisen. Es sei dazu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { a_0 +a_1 X + \cdots + a_n X^n
}
{ \in} { R[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
das unter $\varphi$ auf $0$ abgebildet wird, d.h. es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(r)
}
{ = }{ a_0 +a_1 r + \cdots + a_n r^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/(G_1 , \ldots , G_n)}{,} und das bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_0 +a_1 r + \cdots + a_n r^n
}
{ \in} { (G_1 , \ldots , G_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $R$. Wir betrachten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ P- P(r)
}
{ =} { \sum_{i= 0}^n a_i X^i - \sum_{i= 0}^n a_i r^i
}
{ =} { \sum_{i= 0}^n a_i (X^i -r^i)
}
{ =} { \sum_{i= 1}^n a_i (X^i -r^i)
}
{ =} { \sum_{i= 1}^n (X-r) H_i
}
}
{}
{}{,}
wobei die letzte Gleichung darauf beruht, dass man in
\mathl{X^i-r^i}{} stets
\mathl{(X-r)}{} ausklammern kann. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P - P(r)
}
{ \in} { (X-r)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ \in} { (X-r,G_1 , \ldots , G_n )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen den entsprechenden Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_i-G_i
}
{ =} { F_i -F_i(r)
}
{ =} { (X-r) B_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit gewissen $B_i$ und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ \in} { (X-r,G_1 , \ldots , G_n )
}
{ =} { (X-r,F_1 , \ldots , F_n )
}
{ =} { {\mathfrak a}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3 (1+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Finde eine ganzzahlige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in }{ \Z \times \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Zeige, dass
\mathdisp {\left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 129 }{ 100 } } \right)} { }
eine Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {$(5,3)$ ist eine ganzzahlige Lösung.
} {Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } \right) }^2 - { \left( { \frac{ 129 }{ 100 } } \right) }^3 +2
}
{ =} { { \left( { \frac{ 146 689 }{ 1000000 } } \right) } - { \left( { \frac{ 2 146 689 }{ 1000000 } } \right) } +2
}
{ =} { { \left( { \frac{ 146 689 - 2 146 689 }{ 1000000 } } \right) } +2
}
{ =} { { \left( { \frac{ - 2 000000 }{ 1000000 } } \right) } +2
}
{ =} { -2+2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s,t
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die drei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left( s , \, s^3 \right) ,\, \left( t , \, t^3 \right) ,\, \left( -(s+t) , \, -(s+t)^3 \right)
}
{ \in }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf einer Gerade liegen.
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die ersten beiden Punkte gleich und die Behauptung stimmt. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \neq }{t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Gleichung für die Gerade durch die beiden Punkte
\mathkor {} {\left( s , \, s^3 \right)} {und} {\left( t , \, t^3 \right)} {}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( t^3-s^3 \right) } x - { \left( t-s \right) } y
}
{ =} { s t^3 -ts^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hierbei kann man überall
\mathl{t-s}{} ausklammern und erhält die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( t^2+ts+s^2 \right) } x - y
}
{ =} { (t+s) st
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir setzen nun den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ =} { \left( -(s+t) , \, -(s+t)^3 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in die Geradengleichung ein und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( t^2+ts+s^2 \right) } { \left( -(s+t) \right) } +(s+t)^3
}
{ =} { -t^3 - 2t^2s -2 ts^2 -s^3 +s^3 +3s^2t+3st^2+t^3
}
{ =} { s^2t+st^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
der Punkt liegt also auf der Geraden.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Zerlegung einer affin-algebraischen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in irreduzible Komponenten.
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion. Angenommen, nicht jede affin-algebraische Menge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir $V$, ohne eine solche Zerlegung. $V$ kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ V_1 \cup V_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $V_1$ und $V_2$ echte Teilmengen von $V$ sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von $V$, was ein Widerspruch ist.}
{}
\teilbeweis {Zur Eindeutigkeit.\leerzeichen{}}{}{}
{Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V
}
{ =} { V_1 \cup \ldots \cup V_k
}
{ =} { W_1 \cup \ldots \cup W_m
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen
\zusatzklammer {jeweils ohne Inklusionsbeziehung} {} {.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_1
}
{ =} { V_1 \cap V
}
{ =} { V_1 \cap (W_1 \cup \ldots \cup W_m)
}
{ =} { (V_1 \cap W_1 ) \cup \ldots \cup (V_1 \cap W_m)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $V_1$ irreduzibel ist, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_1
}
{ \subseteq }{ W_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $j$ sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W_j
}
{ \subseteq }{ V_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $i$, woraus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_1
}
{ = }{ W_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt. Ebenso findet sich $V_2$ etc. in der Zerlegung rechts wieder, sodass die Zerlegung eindeutig ist.}
{}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es seien
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_1 , \ldots , f_k
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben, die wir als
\definitionsverweis {Funktionen}{}{}
\maabbdisp {f_i} { {\mathbb C}^n } { {\mathbb C}
} {}
auffassen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein weiteres Polynom und es seien
\maabbdisp {g_1 , \ldots , g_k} { {\mathbb C}^n } { {\mathbb C}
} {}
Funktionen, die nicht unbedingt Polynome sind. Es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { g_1f_1 + \cdots + g_kf_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {eine Gleichung von Funktionen} {} {.}
Zeige, dass $f$ zum
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
von
\mathl{{ \left( f_1 , \ldots , f_k \right) }}{} gehört.
}
{
Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V { \left( f_1 , \ldots , f_k \right) }
}
{ \subseteq} { V(f)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus nach den Hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass $f$ zum Radikal der
\mathl{f_1 , \ldots , f_k}{} gehört.
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ \left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)
}
{ \in }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt, und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V { \left( f_1 , \ldots , f_k \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das bdedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_i(P)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P)
}
{ =} { { \left( g_1f_1 + \cdots + g_kf_k \right) } (P)
}
{ =} { g_1(P)f_1(P) + \cdots + g_k(P)f_k(P)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Überdeckung und das Einheitsideal.
}
{
Es sei ${\mathfrak b}$ das von den $F_i$
\definitionsverweis {erzeugte Ideal}{}{.}
Die Voraussetzung besagt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{i \in I} V(F_i)
}
{ =} { V( {\mathfrak b} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
leer ist. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V( {\mathfrak b})
}
{ \subseteq }{ V(1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus
dem Hilbertschen Nullstellensatz
folgt, dass eine Potenz von $1$, also $1$ selbst, zu ${\mathfrak b}$ in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} gehört. D.h. dass ${\mathfrak b}$ das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{}
ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ V(x^2+y^2-1)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ K }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Einheitskreis über einem Körper $K$ und es seien
\mathkor {} {P=(a,b)} {und} {Q=(c,d)} {}
Punkte auf $V$. Zeige, dass es einen
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} { V } { V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(P)
}
{ =} { Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Es genügt, für die beiden Punkte
\mathl{(1,0)}{} und
\mathl{P=(a,b) \in V}{} einen Automorphismus des Kreises anzugeben, der
\mathl{(1,0)}{} in $P$ überführt, da man den geforderten Automorphismus dann als eine Hintereinanderschaltung solcher Morphismen
\zusatzklammer {bzw. des Umkehrmorphismus} {} {}
erhalten kann. Wir betrachten die bijektive
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {K^2} { K^2
} {,}
die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}} { }
gegeben ist. Diese bildet den Punkt $(1,0)$ auf
\mathl{(a,b)}{} ab. Ein Punkt
\mathl{(x,y) \in V}{} wird dabei auf
\mathl{(ax-by, bx+ay)}{} abgebildet. Für den Bildpunkt gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (ax-by)^2 + (bx+ax)^2
}
{ =} { a^2x^2 -2abxy +b^2y^2 +b^2x^2 + 2abxy+ a^2y^2
}
{ =} { (a^2+b^2)x^2 + (a^2+b^2)y^2
}
{ =} { x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
}
{}
{}{,}
d.h. der Bildpunkt liegt wieder auf dem Kreis. Somit induziert $\varphi$ eine
\zusatzklammer {algebraische} {} {}
Abbildung
\maabb {\varphi} { V } {V
} {.}
Entsprechend liefert die durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}}{} gegebene inverse Abbildung einen inversen Morphismus, sodass insgesamt ein Automorphismus vorliegt.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{}
von $M$ mit den drei folgenden Zahlen übereinstimmt.
\aufzaehlungdrei{Die maximale Länge einer Kette von Monoiden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { M_0
}
{ \subset} { M_1
}
{ \subset} { M_2
}
{ \subset \ldots \subset} { M_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {\N
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
}{Die maximale Länge einer Kette von
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[M]
}
{ =} { R_0
}
{ \subset} { R_1
}
{ \subset} { R_2
}
{ \subset \ldots \subset} { R_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { K[T]
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}{Die maximale Länge einer Kette
\zusatzklammer {einer
\definitionsverweis {Fahne}{}{}} {} {}
von
$K$-\definitionsverweis {Untervektor\-räumen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[M]
}
{ =} { V_0
}
{ \subset} { V_1
}
{ \subset} { V_2
}
{ \subset \ldots \subset} { V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { K[T]
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
}
{
Der Singularitätsgrad $\delta$ ist die Anzahl der Lücken von $M$ in $\N$, der nach
Lemma 20.13 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026))
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_K (R^{\operatorname{norm} }/R)
}
{ = }{\dim_K (K[T]/K[M] )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übereinstimmt.
\aufzaehlungdrei{Bei einer Kette von Monoiden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { M_0
}
{ \subset} { M_1
}
{ \subset} { M_2
}
{ \subset \ldots \subset} {M_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {\N
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
muss in jedem Schritt mindestens ein Element hinzukommen, sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wenn man $M_{i+1}$ sukzessive dadurch definiert, dass man zu $M_{i}$ das größte Element hinzunimmt, das nicht zu $M_{i}$ gehört, so ist dies ein Monoid, das genau ein Element mehr als $M_{i}$ besitzt. Dieses Verfahren ergibt eine Kette der Länge $\delta$ wie gewünscht.
}{Zur Kette der Länge $\delta$ gehört die Kette von
$K$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[M]
}
{ =} { K[M_0]
}
{ \subset} { K[M_1]
}
{ \subset} { K[M_2]
}
{ \subset \ldots \subset} {K[M_\delta]
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { K[\N]
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
wobei die Inklusionen echt sind, da zu
\mathl{T^m \in M_{i+1}\setminus M_i}{} auch
\mathl{T^m \in K[M_{i+1} ] \setminus K[M_i]}{} gilt. Dass es keine längeren Ketten gibt, wird allgemeiner in Teil (3) begründet.
}{Die Algebrakette aus Teil (2) ist insbesondere eine Kette von
$K$-\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( K[\N]/K[M] \right) }
}
{ =} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann es keine längeren Ketten von Untervektorräumen geben, da diese den Ketten im Restklassenraum
\mathl{K[\N]/K[M]}{} entsprechen und es in einem Vektorraum der Dimension $\delta$ nur Ketten der maximalen Länge $\delta$ geben kann.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (1+4)}
{
Wir betrachten die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { xy^3+y+x^3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene Kurve in ${\mathbb A}^{2}_{ K }$ über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{char} ( K )
}
{ = }{ 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Punkt
\mathl{(4,2)}{} ein singulärer Punkt der Kurve ist.
} {Zeige, dass die Kurve bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{char} ( K )
}
{ \neq }{ 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
}
{
Die partiellen Ableitungen sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ =} { y^3+3x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } }
}
{ =} { 3xy^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Im gegebenen Punkt
\mathl{(4,2)}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(4,2)
}
{ =} { 4 \cdot 2^3 +2 +4^3
}
{ =} { 32 +2+64
}
{ =} { 98
}
{ =} { 0
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } } (4,2)
}
{ =} { 8 + 3 \cdot 16
}
{ =} { 56
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } } (4,2)
}
{ =} { 3 \cdot 4 \cdot 4 +1
}
{ =} { 49
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also liegt ein singulärer Punkt vor.
} {Es ist zu zeigen, dass diese beiden partiellen Ableitungen und $f$ über einem beliebigen Körper der Charakteristik $\neq 7$ keine gemeinsame Nullstelle haben. Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^3
}
{ =} {-3x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Kurvengleichung folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x (-3x^2) +y+x^3
}
{ =} { y -2x^3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 2x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies in die erste partielle Ableitung eingesetzt ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^3 +3x^2
}
{ =} { 8x^9 +3x^2
}
{ =} { { \left( 8x^7 +3 \right) } x^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Dies in die zweite partielle Ableitung eingesetzt ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3xy^2
}
{ =} { 3x { \left( 2x^3 \right) }^2
}
{ =} { 12 x^7
}
{ =} { -1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt einerseits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits, dass wir Charakteristik $\neq 2,3$ annehmen können. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^7
}
{ =} { - { \frac{ 3 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^7
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 12 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 3 }{ 8 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 12 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was bei Charakteristik $\neq 7$ ausgeschlossen ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{
Bestimme die Schnittpunkte und die
\definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{}
der beiden Kurven
\mathl{V(Y^2-X^3)}{} und
\mathl{V(Y^2-X^5)}{} in
\mathl{{\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C} }}{} und ihrer projektiver Abschlüsse im
\mathl{{\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }}{}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^3
}
{ =} { Y^2
}
{ =} { X^5
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit muss in einem Schnittpunkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^5-X^3
}
{ =} { X^3(X^2-1)
}
{ =} { X^3 (X-1)(X+1)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein. Dies ergibt für die $X$-Koordinate die Möglichkeiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X
}
{ =} { 0,1-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies führt auf die Schnittpunkte
\mathdisp {(0,0), \, (1,1), \, (1,-1), \, (-1, - { \mathrm i} ) , \, (-1, - { \mathrm i} )} { . }
Wir berechnen die Schnittmultiplizität über die Dimension von
\mathdisp {(K[X,Y]/(Y^2-X^3,X^3 (1-X^2)))_{\mathfrak m}} { }
zu den verschiedenen maximalen Idealen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geht es um den Ring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X,Y]_{(X,Y)} /(Y^2-X^3,X^3 )
}
{ =} { K[X,Y]_{(X,Y)} /(Y^2, X^3 )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{1,X,X^2,Y,YX,YX^2}{} ist eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
dieses Ringes, die Schnittmultiplizität ist also $6$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X-1,Y-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2 -X^3
}
{ =} { - (X^2+X+1) (X-1) + (Y+1) (Y-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^5 -X^3
}
{ =} { X^3 (X+1) (X-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Koeffizientenpolynome im lokalen Ring
\mathl{K[X,Y]_{\mathfrak m}}{} Einheiten sind. Also ist die Schnittmultiplizität gleich $1$. Ebenso ist bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X,Y+1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Schnittmultiplizität gleich $1$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ = }{ (X+1,Y \pm { \mathrm i} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Y^2 -X^3
}
{ =} { (X^2+X+1) (X-1) + (Y+ { \mathrm i}) (Y-{ \mathrm i})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nach dem gleichen Argument wie zuvor ist die Schnittmultiplizität gleich $1$.
Um die Schnittpunkte im Projektiven zu bestimmen, betrachten wir die homogenen Polynome
\mathkor {} {ZY^2-X^3} {und} {Z^3Y^2-X^5} {}
und setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ergibt den einzigen weiteren Schnittpunkt
\mathl{(0,1,0)}{}
\zusatzklammer {in homogenen Koordinaten} {} {.}
Zur Berechnung der Schnittmultiplizität setzen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und müssen den Ring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X,Z]/(Z-X^3, Z^3-X^5)
}
{ =} { K[X]/(X^5-X^9)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
betrachten. Dessen $K$-Dimension ist $5$, was somit die Schnittmultiplizität in diesem Punkt ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
der
\definitionsverweis {ebenen projektiven Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^4+YZ^3+Z^4 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Punkt
\mathl{(0,1,0)}{} sowie die
\zusatzklammer {projektiven} {} {}
\definitionsverweis {Tangente}{}{}(n) in diesem Punkt.
}
{
Der Punkt liegt in der offenen Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C} }
}
{ \cong} { D_+(Y)
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass wir darauf die Multiplizität bestimmen können. Wir setzen also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und erhalten die inhomogene Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^4+Z^3+ Z^4
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {homogene Zerlegung}{}{}
ist
\mathdisp {Z^3 + { \left( X^4+Z^4 \right) }} { . }
Somit ist die Multiplizität gleich $3$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die einzige Gleichung für eine
\zusatzklammer {affine} {} {}
Tangente. Die einzige projektive Tangente ist der projektive Abschluss davon, also
\mathl{V_+(Z)}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die Schnittpunkte der Fermat-Kubik
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_+ { \left( X^3+Y^3+Z^3 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb P}^{2}_{ K }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Geraden
\mathl{V_+(X+Y+Z)}{.}
}
{
Es sind offenbar
\mathdisp {(1,-1,0),\, (1,0,-1),\, (0, 1,-1)\,} { }
Schnittpunkte der Kurve mit der Geraden. Nach dem Satz von Bezout kann es nicht mehr Schnittpunkte geben.
}