Kurs:Algebraische Kurven/5/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{. 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 6 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 7 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 64 }
\renewcommand{\asechzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellevierzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {affin-algebraische} {} Menge.
}{Eine
\stichwort {rationale Parametrisierung} {}
einer affin-algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {zusammenhängender} {} Ring $R$.
}{Ein
\stichwort {ganzes Element} {}
\mathl{x \in S}{} bei einer Ringerweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein
\stichwort {glatter} {}
Punkt $P$ auf einer ebenen algebraischen Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ = }{V(F)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein
\stichwort {homogenes} {}
Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im affinen Raum heißt affin-algebraisch, wenn sie die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
zu einer Familie
\mathbed {F_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
von Polynomen
\mathl{F_j \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ist.
}{Zwei rationale Funktionen
\mathl{\varphi_1=\frac{P_1}{Q_1}}{} und
\mathl{\varphi_2=\frac{P_2}{Q_2}}{} mit
\mathbed {P_1, P_2,Q_1,Q_2 \in K[T]} {}
{Q_1,Q_2 \neq 0} {}
{} {} {} {,}
heißen eine rationale Parametrisierung der algebraischen Kurve
\mathl{V(F)}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(\varphi_1(T), \varphi_2(T))
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und
\mathl{(\varphi_1,\varphi_2)}{} nicht konstant ist.
}{Ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
$R$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei
\definitionsverweis {idempotente Elemente}{}{}
\zusatzklammer {nämlich \mathlk{0 \neq 1}{}} {} {}
enthält.
}{Das Element
\mathl{x \in S}{} heißt ganz
\zusatzklammer {über $R$} {} {,}
wenn $x$ eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
mit Koeffizienten aus $R$ erfüllt.
}{Der Punkt $P$ heißt glatt, wenn
\mathdisp {\frac{\partial F}{\partial X} (P) \neq 0 \text{ oder } \frac{\partial F}{\partial Y} (P) \neq 0} { }
gilt.
}{Die Homogenität des Ideals ${\mathfrak a}$ bedeutet, dass für jedes
\mathl{H \in {\mathfrak a}}{} mit homogener Zerlegung
\mathl{H=\sum_{i } H_i}{} auch
\mathl{H_i \in {\mathfrak a}}{} ist für alle homogenen Bestandteile $H_i$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.}{Der Satz über die Beziehung von Radikalen und affin-algebraischen Mengen.}{Der Satz über die Summe der Schnittmultiplizitäten.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $C$ eine
\definitionsverweis {ebene affin-algebraische Kurve}{}{}
und sei $L$ eine Gerade in $K^2$. Dann ist der Durchschnitt
\mathl{C \cap L}{} die ganze Gerade, oder er besteht nur aus endlich vielen Punkten.}{Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} und dem affinen Raum
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{.} Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} und Radikalidealen in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.}}{Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien
\mathl{F,G \in K[X,Y]}{} Polynome ohne gemeinsamen Primteiler.
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( K[X,Y]/(F,G) \right) }
}
{ =} { \sum_{P} \operatorname{mult} _{ {P} } ( F, G )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+2+1)}
{
Es seien $a,b \geq 2$ und sei $n=ab$.
a) Zeige, dass die beiden Polynome $X^a-1$ und $X^b-1$ Teiler des Polynoms $X^n-1$ sind.
b) Es sei $a \neq b$. Ist $(X^a-1)(X^b-1)$ stets ein Teiler von $X^n-1$?
c) Man gebe drei Primfaktoren von $2^{30} -1$ an.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^n -1
}
{ =} { { \left( X^b \right) }^a - 1
}
{ =} { { \left( X^b-1 \right) } { \left( { \left( X^b \right) }^{a-1} + { \left( X^b \right) }^{a-2} + \cdots + { \left( X^{b} \right) }^2 + X^b+ 1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mathl{X^b-1}{}
\zusatzklammer {und ebenso
\mathl{X^a-1}{}} {} {}
ein Teiler von
\mathl{X^n-1}{.}
b) Dies ist nicht der Fall. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {8
}
{ =} {4 \cdot 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^8 -1
}
{ =} { (X^4-1) (X^4+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Polynom
\mathl{X^4+1}{} hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von
\mathl{X^2-1}{.} Daher ist $(X^4-1)(X^2-1)$ kein Teiler von
\mathl{X^8-1}{.}
c) Da
\mathl{2,3,5}{} Teiler von $30$ sind, ergibt sich aus Teil a), dass
\mathl{2^2-1=3,\, 2^3-1=7}{} und
\mathl{2^5-1=31}{} Teiler von
\mathl{2^{30} -1}{} sind. Daher sind
\mathl{3,7,31}{} Primteiler von
\mathl{2^{30} -1}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Zeige, dass die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} {V { \left( Y^2-X^3 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
jede Gerade durch den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (1,1)
}
{ \in }{C
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in mindestens einem weiteren Punkt trifft.
}
{
Jede Gerade in der Ebene wird durch eine Gleichung der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by
}
{ =} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben, wobei $a,b$ nicht beide gleich $0$ sind. Wenn die gerade durch den Punkt
\mathl{(1,1)}{} läuft, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist die Gerade durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben, und es gibt noch den weiteren Schnittpunkt
\mathl{(1,-1)}{.} Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann können wir die Geradengleichung nach $y$ auflösen und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {rx+s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{1-r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Auf einer solchen Geraden wird die Kurvengleichung zu
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} { y^2-x^3
}
{ =} { (rx+(1-r) )^2-x^3
}
{ =} { -x^3 +r^2x^2 +2r(1-r)x +(1-r)^2
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Da
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle davon ist, können wir
\mathl{x-1}{} ausklammern, und zwar ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -x^3 +r^2x^2 +2r(1-r) x +(1-r)^2
}
{ =} { (x-1) { \left( -x^2 - (1-r^2) x - (1-r)^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der rechte Faktor ist ein normiertes Polynom vom Grad $2$, hat also über ${\mathbb C}$ weitere Nullstellen. Wir müssen zeigen, dass mindestens eine weitere Nullstelle nicht $1$ ist. Wenn man im rechten Faktor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einsetzt, so erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -1 -(1-r^2)- (1-r)^2
}
{ =} { -3 +r^2 +2r -r^2
}
{ =} { 2r-3
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \neq }{ { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann also $1$ keine Nullstelle sein. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In diesem Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +(1-r^2) x + (1-r)^2
}
{ =} { x^2 - { \frac{ 5 }{ 4 } } x + { \frac{ 1 }{ 4 } }
}
{ =} { (x-1) { \left( x - { \frac{ 1 }{ 4 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit gibt es eine weitere Nullstelle.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es seien
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und sei
\mathl{n \in \N}{.} Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(I+J)^n
}
{ =} { I^n + I^{n-1}J+ I^{n-2}J^2 + \cdots + I^2J^{n-2} + IJ^{n-1} +J^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Zum Beweis der Inklusion $\subseteq$ sei
\mathl{f \in (I+J)^n}{.} Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { f_1 + f_2 + \cdots + f_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_\ell
}
{ =} { c_{\ell 1} \cdot c_{\ell 2} \cdots c_{\ell n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{c_{\ell r} \in I+J}{} ist. Dies bedeutet wiederum, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{\ell r}
}
{ =} { a_{\ell r} + b_{\ell r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathkor {} {a_{\ell r} \in I} {und} {b_{\ell r} \in J} {}
ist. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_\ell
}
{ =} { { \left( a_{\ell 1} + b_{\ell 1} \right) } { \left( a_{\ell 2} + b_{\ell 2} \right) } \cdots { \left( a_{\ell n} + b_{\ell n} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit $n$ Faktoren, wobei $s$ Faktoren zu $I$ und
\mathl{n-s}{} Faktoren zu $J$ gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die $f_\ell$ und auch $f$.
Zum Beweis der Inklusion $\supseteq$ genügt es, die Inklusion $I^s J^{n-s} \subseteq (I+J)^n$ für jedes $s$ zu zeigen. Wegen
\mathl{I,J \subseteq I+J}{} ist aber sofort
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I^s J^{n-s}
}
{ \subseteq} { (I+J)^s \cdot (I+J)^{n-s}
}
{ =} { (I+J)^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und seien $F,G \in K[X,Y]$ zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Teiler. Zeige, dass der Durchschnitt $V(F) \cap V(G)$ nur endlich viele Punkte besitzt.
}
{
Wir betrachten
\mathl{F,G \in K[X,Y]}{} als Elemente in
\mathl{K(X)[Y]}{,} wobei
\mathl{K(X)}{} den
\definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
in $X$ bezeichne. Es haben dann nach
Aufgabe 4.24 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
auch $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Teiler in
\mathl{K(X)[Y]}{.} Da dieser Ring ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{} ist, erzeugen sie zusammen das Einheitsideal, d.h. es gibt Polynome
\mathl{A,B \in K(X)[Y]}{} mit
\mathl{AF+BG=1}{.} Multiplikation mit dem Hauptnenner von $A$ und $B$ ergibt in
\mathl{K[X,Y]}{} die Gleichung
\mathl{\tilde{A} F + \tilde{B}G=H}{} mit
\mathl{H\in K[X]}{.} Eine gemeinsame Nullstelle in
\mathl{{\mathbb A}^2_K}{} von $F$ und von $G$ muss also eine Nullstelle von $H$ sein. Es gibt also nur endlich viele Werte für $X$, für die eine gemeinsame Nullstelle vorliegt. Wenn man die Rollen von $X$ und von $Y$ vertauscht, so sieht man, dass es auch nur endlich viele Werte für $Y$ gibt, an denen eine gemeinsame Nullstelle vorliegen kann. Damit kann es überhaupt nur endlich viele gemeinsame Nullstellen geben.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Bestimme für die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{K} \setminus \{0\}} { {\mathbb A}^{2}_{K} } {t} { \left( { \frac{ t^2+t+1 }{ t^2 } } , \, { \frac{ t-1 }{ t^2 } } \right) } {,} eine algebraische Gleichung der Bildkurve.
}
{
Wir betrachten von den Zählerpolynomen und dem Nennerpolynom die gleichgradigen Homogenisierungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H_1
}
{ =} { T^2 +ST +S^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H_2
}
{ =} { ST-S^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H_3
}
{ =} {T^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die monomialen Kombinationen
\mathl{H_1^{i} H_2^{j} H_3^{k}}{} vom Grad
\zusatzklammer {bezüglich $S,T$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2(i+j+k)
}
{ =} {4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Hierfür gibt es die sechs Möglichkeiten
\mathdisp {(2,0,0),\, (0,2,0),\, (0,0,2),\, (1,1,0),\, (1,0,1),\, (0,1,1)} { . }
Da es nur fünf Monome in
\mathkor {} {S} {und} {T} {}
vom Grad $4$ gibt, muss es zwischen den homogenen Polynomen
\mathl{H_1^{i} H_2^{j} H_3^{k}}{,} wobei die Exponententupel durch die angegebene Liste laufen, eine nichtlineare Relation geben. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_1
}
{ =} { H_1^{2} H_2^{0} H_3^{0}
}
{ =} { { \left( T^2 +ST +S^2 \right) }^2
}
{ =} { T^4 + 2 ST^3 + 3 S^2T^2 +2S^3 T + S^4
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_2
}
{ =} { H_1^{1} H_2^{2} H_3^{0}
}
{ =} { { \left( ST -S^2 \right) }^2
}
{ =} { S^2T^2 -2 S^3T + S^4
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_3
}
{ =} { H_1^{0} H_2^{0} H_3^{2}
}
{ =} { T^4
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{F_4
}
{ =} { H_1^{1} H_2^{1} H_3^{0}
}
{ =} { { \left( T^2 +ST +S^2 \right) } { \left( ST-S^2 \right) }
}
{ =} { ST^3 -S^4
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_5
}
{ =} { H_1^{1} H_2^{0} H_3^{1}
}
{ =} { { \left( T^2 +ST +S^2 \right) } T^2
}
{ =} { T^4 + ST^3 +S^2T^2
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F_6
}
{ =} { H_1^{0} H_2^{1} H_3^{1}
}
{ =} { { \left( ST-S^2 \right) } T^2
}
{ =} { ST^3 - S^2T^2
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{F_1+F_2+2F_4
}
{ =} { T^4 + 2 ST^3 + 3 S^2T^2 +2S^3 T + S^4 + S^2T^2 -2 S^3T + S^4 + 2 { \left( ST^3 -S^4 \right) }
}
{ =} { T^4 + 4 ST^3 + 4 S^2T^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_1+F_2+2F_4 - 4 F_5 +3F_3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mathdisp {U^2 +V^2 +3W^2 +2UV -4 UW} { }
ein Polynom, das
\mathl{H_1,H_2,H_3}{} annulliert. Daher ist
\mathdisp {{ \left( { \frac{ U }{ W } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ V }{ W } } \right) }^2 +2 { \frac{ U }{ W } } \cdot { \frac{ V }{ W } } -4 { \frac{ U }{ W } } +3} { }
bzw.
\mathdisp {X^2 +Y^2 +2XY -4X+3} { }
ein Polynom, dass die rationalen Funktionen
\mathkor {} {{ \frac{ t^2+t+1 }{ t^2 } }} {und} {{ \frac{ t-1 }{ t^2 } }} {}
annulliert. Dies wird durch die Probe
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \,
}
{ \,} { { \left( { \frac{ t^2+t+1 }{ t^2 } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ t-1 }{ t^2 } } \right) }^2 +2{ \frac{ t^2+t+1 }{ t^2 } } \cdot { \frac{ t-1 }{ t^2 } } -4{ \frac{ t^2+t+1 }{ t^2 } } +3
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ t^4 } } { \left( t^4+t^2+1 +2t^3 +2t^2 +2t + t^2 -2t+1 + 2t^3+2t^2+ 2t -2t^2 -2t-2 -4 t^4 -4t^3 -4t^2 +3 t^4 \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
bestätigt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {mechanische System}{}{,}
das durch den Einheitskreis und die dazu tangentiale Gerade durch
\mathl{(0,1)}{} mit dem Koppelungsabstand
\mathl{d=2}{} definiert ist. Zeige, dass man dieses System mit zwei Variablen beschreiben kann.
}
{
Mit
\mathdisp {P_1 = (x_1,1) \text{ und } P_2=(x_2,y_2)} { }
gelangt man zu den beiden Bedingungen
\aufzaehlungzwei {
\mathl{x_2^2+y_2^2=1}{}
} {
\mathl{(x_2-x_1)^2 +(y_2-1)^2=4}{.}
}
Wir ziehen die erste Gleichung von der zweiten ab und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} { (x_2-x_1)^2 +(y_2-1)^2 -4 -(x_2^2+y_2^2 -1)
}
{ =} { x_2^2 +x_1^2 -2x_1x_2 +y_2^2 -2y_2 +1 -4 -x_2^2-y_2^2 +1
}
{ =} { x_1^2 -2x_1x_2 -2y_2 -2
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Diese Gleichung ist zusammen mit der Einheitskreisgleichung äquivalent zum Ausgangssystem. Mit dieser neuen zweiten Gleichung kann man $y_2$ mittels
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } x_1^2-x_1x_2 -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eliminieren. Das System kann also allein in den Variablen
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {}
beschrieben werden, und zwar als Nullstellenmenge des Polynoms
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_2^2 +y_2^2 -1
}
{ =} {x_2^2 + { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x_1^2-x_1x_2 -1 \right) }^2 -1
}
{ =} { x_2^2 + { \frac{ 1 }{ 4 } } x_1^4 +x_1^2x_2^2 +1 - x_1^3x_2 - x_1^2 + 2x_1x_2 -1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 4 } } x_1^4 - x_1^3x_2 +x_1^2x_2^2 - x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein Körper und $R=K[X_1, \ldots , X_n]/ {\mathfrak a}$ eine endlich erzeugte $K$-Algebra. Stifte eine Bijektion zwischen
\mathdisp {K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) } \text{ und } V({\mathfrak a}) \subseteq { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }} { . }
}
{
Wir bilden einen Punkt
\mathl{P \in K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{,} der ja einem $K$-Algebrahomomorphismus
\maabb {\varphi} {R} {K
} {}
entspricht, ab auf den Punkt mit den Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tilde{P}
}
{ =} { (\varphi(X_1) , \ldots , \varphi(X_n))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei fassen wir $\varphi$ über den Restklassenhomomorphismus
\maabb {} {K[X_1 , \ldots , X_n] } {R
} {}
als Homomorphismus auf dem Polynomring auf. Für jedes $F \in {\mathfrak a}$ wird $F$ unter dem zusammengesetzten Homomorphismus auf $0$ abgebildet, so dass also $F$ in $\tilde{P}$ verschwindet. Dies bedeutet, dass die Abbildung in
\mathl{V({\mathfrak a})}{} landet.
Zur Injektivität seien zwei verschiedene $K$-Algebrahomomorphismen gegeben. Diese müssen sich auch auf mindestens einem Algebraerzeuger unterscheiden, so dass mindestens eine Koordinate verschieden sein muss.
Für einen Punkt
\mathl{Q=(a_1 , \ldots , a_n) \in V( {\mathfrak a})}{} mit zugehörigem Einsetzungshomomorphismus
\mathl{X_i \mapsto a_i}{} geht jedes
\mathl{F \in {\mathfrak a}}{} auf $0$. Dieser Einsetzungshomomorphismus faktorisiert also durch $R$ und liefert das Urbild des Punktes.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz für numerische Monoide für große $n$.
}
{
Wegen der Teilerfremdheit gibt es natürlich eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m
}
{ =} { b_1e_1 + \cdots + b_n e_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit ganzzahligen Koeffizienten $b_i$. Wir werden sie schrittweise auf die gewünschte Gestalt bringen. Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1
}
{ = }{c_1e_2 + a_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \leq }{ a_1
}
{ < }{ e_2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {Division mit Rest} {} {.}
Dies setzt man in die Gleichung für $m$ ein und schlägt den Term
\mathl{c_1e_2e_1}{} zu $b_2e_2$ dazu. Ebenso bringt man den
\zusatzklammer {neuen} {} {}
zweiten Koeffizienten auf die gewünschte Form, in dem man ihn mit dem dritten Erzeuger verarbeitet. So kann man alle ersten $n-1$ Koeffizienten auf die gewünschte Gestalt bringen.
Es sei die Darstellung nun in der gewünschten Form. Dann ist die Summe der ersten $n-1$ Summanden beschränkt. Wenn $m$ größer als diese Schranke ist, so muss der letzte Summand und damit auch der letzte Koeffizient nichtnegativ sein.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{.} Beschreibe die zum
\definitionsverweis {Restklassenhomomorphismus}{}{}
\zusatzklammer {als Monoidhomomorphismus} {} {}
\maabbdisp {} {\Z} { \Z/(n)
} {}
gehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
zum Körper ${\mathbb C}$.
}
{
Der
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
zu
\mathl{\Z/(n)}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}[ \Z/(n) ]
}
{ \cong} { {\mathbb C}[X]/(X^n-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und sein
$K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
ist die Menge der komplexen Einheitswurzeln. Der surjektive Monoidhomomorphismus
\maabbdisp {} {\Z} { \Z/(n)
} {}
führt nach
Lemma 17.11 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))
zu einem surjektiven Ringhomomorphismus zwischen den Monoidringen und somit nach
Proposition 12.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) (3)
zur abgeschlossenen Einbettung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ \zeta \in {\mathbb C} \mid \zeta^n = 1 \right\} }
}
{ \subseteq} { {\mathbb C}^\times = {\mathbb C}\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( {\mathbb C}[U,U^{-1}] \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme für die ebene algebraische Kurve
\mathdisp {V { \left( X^3+Y^2-XY+X \right) }} { }
eine nichtkonstante Potenzreihenlösung $X=F(Y)$ im Nullpunkt bis zum sechsten Glied.
}
{
Wir setzen an $X=F(Y)= {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } Y ^{ i }$, und bestimmen die Koeffizienten $a_0 , \ldots , a_6$ aufgrund der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } Y ^{ i })^3+Y^2 -( {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } Y ^{ i } ) Y + ( {\sum }_{ i=0 }^{ \infty } a_{ i } Y ^{ i } )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Potenzreihe die Kurve im Nullpunkt approximieren soll, muss $a_0=0$ sein. Für $Y^1$ ergibt sich die Koeffizientenbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da die ersten drei Summanden keinen Beitrag leisten. Für $Y^2$ ergibt sich
\mathdisp {1 + a_2=0, \text{ also } a_2= -1} { . }
Damit ist der zweite Summand $Y^2$ abgearbeitet. Für $Y^3$ ergibt sich
\mathdisp {- a_2 + a_3= 0, \text{ also } a_3=a_2= -1} { . }
Für $Y^4$ ergibt sich
\mathdisp {- a_3 + a_4= 0, \text{ also } a_4=a_3= -1} { }
und für $Y^5$ ergibt sich
\mathdisp {- a_4 + a_5= 0, \text{ also } a_5=a_4= -1} { . }
Bei $Y^6$ muss erstmals auch der erste Summand berücksichtigt werden, und zwar ergibt sich
\mathdisp {a_2^3 -a_5+a_6=0, \text{ also } a_6=a_5-a_2^3 =-1 - (-1)^3 =0} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme, ob die
\definitionsverweis {ebene projektive Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_+ { \left( X^4+YZ^3+Z^4 \right) }
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {glatt}{}{}
ist.
}
{
Wir behaupten, dass der Punkt
\mathl{(0,1,0)}{} ein nichtglatter Punkt der Kurve ist. Es handelt sich dabei offenbar um einen Punkt der Kurve. Der Punkt liegt in der offenen Umgebung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ \cong} { D_+(Y)
}
{ \subset} { {\mathbb P}^{2}_{{\mathbb C}}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass wir darauf arbeiten können. Wir setzen also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und erhalten die inhomogene Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^4+Z^3+ Z^4
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die partiellen Ableitungen sind
\mathkor {} {{ \frac{ \partial { \left( X^4+Z^3+ Z^4 \right) } }{ \partial X } } = 4X^3} {und} {{ \frac{ \partial { \left( X^4+Z^3+ Z^4 \right) } }{ \partial Z } } = 3Z^2+ 4Z^3} {.}
Diese verschwinden beide im besagten Punkt, daher handelt es sich um einen nichtglatten Punkt. Somit ist die Kurve nicht glatt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Es sei $K={\mathbb C}$ und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven
\mathdisp {C=V { \left( X-Y^2 \right) } \text{ und } D=V { \left( Y^2-X^5 \right) }} { . }
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven
\zusatzklammer {also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen $\bar{C}$ und $\bar{D}$} {} {} und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bezout in diesem Beispiel erfüllt ist.
}
{
Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man für einen Schnittpunkt sofort die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { x-x^5
}
{ =} { x(1-x^4)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die $x$-Koordinate eines Schnittpunktes ist also $x=0$ oder eine vierte Einheitswurzel, also $x=1,-1, { \mathrm i} ,- { \mathrm i}$. Bei $x=0$ ergibt sich dofort $y=0$. Den Restklassenring kann man schreiben als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X,Y]_{(X,Y)}/(X-Y^2,Y^2-X^5)
}
{ =} { K[Y]_{(Y)}/(Y^2-Y^{10})
}
{ =} { K[Y]_{Y}/(Y^2(1-Y^8))
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da $1-Y^8$ in diesem lokalen Ring eine Einheit ist, handelt es sich um $K[Y]/(Y^2)$, so dass sich in $(0,0)$ die Schnittmultiplizität $2$ ergibt.
Es sei nun $x$ eine vierte Einheitswurzel. Wegen $y^2=x$ muss $y$ eine achte Einheitswurzel sein. Wir bezeichnen mit $\zeta$ die erste primitive achte Einheitswurzel. Dann hat man die acht weiteren Schnittpunkte
\mathdisp {(1,1), (1,-1), ( { \mathrm i}, \zeta), ( { \mathrm i}, -\zeta), (-1, { \mathrm i}), (-1,- { \mathrm i}), (- { \mathrm i}, \zeta^3), (- { \mathrm i}, -\zeta^3)} { . }
Wir zeigen, dass in all diesen Punkte der Schnitt transversal ist und daher die Schnittmultiplizität immer eins ist. Dazu berechnen wir allgemein die partiellen Ableitungen, also
\mathdisp {\left( { \frac{ \partial F }{ \partial X } } , \, { \frac{ \partial F }{ \partial Y } } \right) = (1,-2Y) \text{ und } \left( { \frac{ \partial G }{ \partial X } } , \, { \frac{ \partial G }{ \partial Y } } \right) = (-5X^4,2Y)} { . }
In jedem der obigen acht Schnittpunkte
\mathl{(x,y)}{} sind wegen
\mathl{x \neq 0}{} beide Kurven glatt. Wegen
\mathl{x^4=1}{} hat der Ableitungsvektor rechts die Gestalt
\mathl{(-5,2y)}{.} Die Richtungstangenten der beiden Kurven können also nur dann linear abhängig sein, wenn
\mathl{-2y = -10y}{} ist, was wegen
\mathl{y \neq 0}{} nicht möglich ist.
Betrachten wir noch die unendlich fernen Punkte. Die Homogenisierungen sind $\tilde{F} =XZ-Y^2$, so dass der einzige unendlich ferne Punkt auf $\bar{C}=V_+(\tilde{F})$ $(1,0,0)$ ist, und $\tilde{G} =Y^2Z^3-X^5$, so dass der einzige unendlich ferne Punkt auf $\bar{D}=V_+(\tilde{G})$ $(0,1,0)$ ist. Diese Punkte sind verschieden, es gibt also keinen weiteren Schnittpunkt im Unendlichen.
Die Gesamtsumme der Schnittmultiplizitäten ist demnach $2+8 \cdot 1=10$. Da die beteiligten Kurven den Grad $2$ und $5$ besitzen, stimmt das mit dem Produktgrad $2 \cdot 5=10$ überein, was die Behauptung des Satzes von Bezout ist.
}