Kurs:Algebraische Kurven/5/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 5 6 6 6 6 4 4 5 2 4 3 7 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine affin-algebraische Menge.
  2. Eine rationale Parametrisierung einer affin-algebraischen Kurve .
  3. Ein zusammenhängender Ring .
  4. Ein ganzes Element bei einer Ringerweiterung .
  5. Ein glatter Punkt auf einer ebenen algebraischen Kurve .
  6. Ein homogenes Ideal .


Lösung

  1. Eine Teilmenge im affinen Raum heißt affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie , , von Polynomen ist.
  2. Zwei rationale Funktionen und mit , , heißen eine rationale Parametrisierung der algebraischen Kurve , wenn

    ist und nicht konstant ist.

  3. Ein kommutativer Ring heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich ) enthält.
  4. Das Element heißt ganz (über ), wenn eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus erfüllt.
  5. Der Punkt heißt glatt, wenn

    gilt.

  6. Die Homogenität des Ideals bedeutet, dass für jedes mit homogener Zerlegung auch ist für alle homogenen Bestandteile .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Schnitt einer ebenen Kurve mit einer Geraden.
  2. Der Satz über die Beziehung von Radikalen und affin-algebraischen Mengen.
  3. Der Satz über die Summe der Schnittmultiplizitäten.


Lösung

  1. Sei eine ebene affin-algebraische Kurve und sei eine Gerade in . Dann ist der Durchschnitt die ganze Gerade, oder er besteht nur aus endlich vielen Punkten.
  2. Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|affin-algebraischen Mengen]] in und [[{{:MDLUL/{{Expansion depth limit exceeded|dient dazu, einen bestimmten mathematischen Begriff, wie er in einem mathematischen Text vorkommt, auf die gemeinte Definition umzuleiten, um dadurch einen funktionierenden Link zu erzeugen.}}Start= {{Expansion depth limit exceeded|Siehe=
    MDLUL/
    Ziel=[[{{Expansion depth limit exceeded|opt=Ziel}}]]|Ziel=[[]]}}|opt=Ziel}}|Radikalidealen]] in .
  3. Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Dann ist


Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Seien und sei .

a) Zeige, dass die beiden Polynome und Teiler des Polynoms sind.


b) Sei . Ist stets ein Teiler von ?


c) Man gebe drei Primfaktoren von an.


Lösung

a) Es ist

und daher ist (und ebenso ) ein Teiler von .

b) Dies ist nicht der Fall. Für

ist

Das Polynom hat keine reelle Nullstelle und ist deshalb kein Vielfaches von . Daher ist kein Teiler von .

c) Da Teiler von sind, ergibt sich aus Teil a), dass und Teiler von sind. Daher sind Primteiler von .


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die Neilsche Parabel

jede Gerade durch den Punkt in mindestens einem weiteren Punkt trifft.


Lösung

Jede Gerade in der Ebene wird durch eine Gleichung der Form

beschrieben, wobei nicht beide gleich sind. Wenn die gerade durch den Punkt läuft, so ist . Wenn ist, so ist die Gerade durch gegeben, und es gibt noch den weiteren Schnittpunkt . Sei also . Dann können wir die Geradengleichung nach auflösen und erhalten

mit . Auf einer solchen Geraden wird die Kurvengleichung zu

Da

eine Nullstelle davon ist, können wir ausklammern, und zwar ist

Der rechte Faktor ist ein normiertes Polynom vom Grad , hat also über weitere Nullstellen. Wir müssen zeigen, dass mindestens eine weitere Nullstelle nicht ist. Wenn man im rechten Faktor einsetzt, so erhält man

Bei kann also keine Nullstelle sein. Sei also . In diesem Fall ist

und somit gibt es eine weitere Nullstelle.


Aufgabe (6 Punkte)

Es seien und Ideale in einem kommutativen Ring und sei . Zeige die Gleichheit


Lösung

Zum Beweis der Inklusion sei . Da das Produkt von Idealen aus allen Summen von Produkten besteht, bedeutet dies, dass

wobei

mit ist. Dies bedeutet wiederum, dass

mit und ist. Somit ist

Wenn man ein solches Produkt distributiv ausrechnet, so erhält man eine Summe von Produkten mit Faktoren, wobei Faktoren zu und Faktoren zu gehören. Damit gehören diese Summanden zur rechten Seite und somit auch die und auch .

Zum Beweis der Inklusion genügt es, die Inklusion für jedes zu zeigen. Wegen ist aber sofort


Aufgabe (6 Punkte)

Sei ein Körper und seien zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsamen nichtkonstanten Teiler. Zeige, dass der Durchschnitt nur endlich viele Punkte besitzt.


Lösung

Wir betrachten als Elemente in , wobei den Körper der rationalen Funktionen in bezeichne. Es haben dann nach Aufgabe 4.24 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) auch und keinen gemeinsamen Teiler in . Da dieser Ring ein Hauptidealbereich ist, erzeugen sie zusammen das Einheitsideal, d.h. es gibt Polynome mit . Multiplikation mit dem Hauptnenner von und ergibt in die Gleichung mit . Eine gemeinsame Nullstelle in von und von muss also eine Nullstelle von sein. Es gibt also nur endlich viele Werte für , für die eine gemeinsame Nullstelle vorliegt. Wenn man die Rollen von und von vertauscht, so sieht man, dass es auch nur endlich viele Werte für gibt, an denen eine gemeinsame Nullstelle vorliegen kann. Damit kann es überhaupt nur endlich viele gemeinsame Nullstellen geben.


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme für die Abbildung

eine algebraische Gleichung der Bildkurve.


Lösung

Wir betrachten von den Zählerpolynomen und dem Nennerpolynom die gleichgradigen Homogenisierungen

und

Wir betrachten die monomialen Kombinationen vom Grad (bezüglich )

Hierfür gibt es die sechs Möglichkeiten

Da es nur fünf Monome in und vom Grad gibt, muss es zwischen den homogenen Polynomen , wobei die Exponententupel durch die angegebene Liste laufen, eine nichtlineare Relation geben. Es ist

Es ist

Somit ist

Also ist

ein Polynom, das annulliert. Daher ist

bzw.

ein Polynom, dass die rationalen Funktionen und annulliert. Dies wird durch die Probe

bestätigt.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das mechanische System, das durch den Einheitskreis und die dazu tangentiale Gerade durch mit dem Koppelungsabstand definiert ist. Zeige, dass man dieses System mit zwei Variablen beschreiben kann.


Lösung

Mit

gelangt man zu den beiden Bedingungen

  1. .

Wir ziehen die erste Gleichung von der zweiten ab und erhalten

Diese Gleichung ist zusammen mit der Einheitskreisgleichung äquivalent zum Ausgangssystem. Mit dieser neuen zweiten Gleichung kann man mittels

eliminieren. Das System kann also allein in den Variablen und beschrieben werden, und zwar als Nullstellenmenge des Polynoms


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und eine endlich erzeugte -Algebra. Stifte eine Bijektion zwischen


Lösung

Wir bilden einen Punkt , der ja einem -Algebrahomomorphismus entspricht, ab auf den Punkt mit den Koordinaten

Dabei fassen wir über den Restklassenhomomorphismus als Homomorphismus auf dem Polynomring auf. Für jedes wird unter dem zusammengesetzten Homomorphismus auf abgebildet, so dass also in verschwindet. Dies bedeutet, dass die Abbildung in landet.

Zur Injektivität seien zwei verschiedene -Algebrahomomorphismen gegeben. Diese müssen sich auch auf mindestens einem Algebraerzeuger unterscheiden, so dass mindestens eine Koordinate verschieden sein muss.

Für einen Punkt mit zugehörigem Einsetzungshomomorphismus geht jedes auf . Dieser Einsetzungshomomorphismus faktorisiert also durch und liefert das Urbild des Punktes.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz für numerische Monoide für große .


Lösung

Wegen der Teilerfremdheit gibt es natürlich eine Darstellung

mit ganzzahligen Koeffizienten . Wir werden sie schrittweise auf die gewünschte Gestalt bringen. Wir schreiben mit (Division mit Rest). Dies setzt man in die Gleichung für ein und schlägt den Term zu dazu. Ebenso bringt man den (neuen) zweiten Koeffizienten auf die gewünschte Form, in dem man ihn mit dem dritten Erzeuger verarbeitet. So kann man alle ersten Koeffizienten auf die gewünschte Gestalt bringen.

Sei die Darstellung nun in der gewünschten Form. Dann ist die Summe der ersten Summanden beschränkt. Wenn größer als diese Schranke ist, so muss der letzte Summand und damit auch der letzte Koeffizient nichtnegativ sein.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei . Beschreibe die zum Restklassenhomomorphismus (als Monoidhomomorphismus)

gehörige Spektrumsabbildung zum Körper .


Lösung

Der Monoidring zu ist

und sein -Spektrum ist die Menge der komplexen Einheitswurzeln. Der surjektive Monoidhomomorphismus

führt nach Lemma 17.11 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) zu einem surjektiven Ringhomomorphismus zwischen den Monoidringen und somit nach Proposition 12.8 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018))  (3) zur abgeschlossenen Einbettung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für die ebene algebraische Kurve

eine nichtkonstante Potenzreihenlösung im Nullpunkt bis zum sechsten Glied.


Lösung

Wir setzen an , und bestimmen die Koeffizienten aufgrund der Bedingung

Da die Potenzreihe die Kurve im Nullpunkt approximieren soll, muss sein. Für ergibt sich die Koeffizientenbedingung

da die ersten drei Summanden keinen Beitrag leisten. Für ergibt sich

Damit ist der zweite Summand abgearbeitet. Für ergibt sich

Für ergibt sich

und für ergibt sich

Bei muss erstmals auch der erste Summand berücksichtigt werden, und zwar ergibt sich


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die ebene projektive Kurve

glatt ist.


Lösung

Wir behaupten, dass der Punkt ein nichtglatter Punkt der Kurve ist. Es handelt sich dabei offenbar um einen Punkt der Kurve. Der Punkt liegt in der offenen Umgebung

so dass wir darauf arbeiten können. Wir setzen also und erhalten die inhomogene Gleichung . Die partiellen Ableitungen sind und . Diese verschwinden beide im besagten Punkt, daher handelt es sich um einen nichtglatten Punkt. Somit ist die Kurve nicht glatt.


Aufgabe (7 Punkte)

Sei und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven

Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven (also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen und ) und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bezout in diesem Beispiel erfüllt ist.


Lösung

Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man für einen Schnittpunkt sofort die Bedingung

Die -Koordinate eines Schnittpunktes ist also oder eine vierte Einheitswurzel, also . Bei ergibt sich dofort . Den Restklassenring kann man schreiben als

Da in diesem lokalen Ring eine Einheit ist, handelt es sich um , so dass sich in die Schnittmultiplizität ergibt.

Sei nun eine vierte Einheitswurzel. Wegen muss eine achte Einheitswurzel sein. Wir bezeichnen mit die erste primitive achte Einheitswurzel. Dann hat man die acht weiteren Schnittpunkte

Wir zeigen, dass in all diesen Punkte der Schnitt transversal ist und daher die Schnittmultiplizität immer eins ist. Dazu berechnen wir allgemein die partiellen Ableitungen, also

In jedem der obigen acht Schnittpunkte sind wegen beide Kurven glatt. Wegen hat der Ableitungsvektor rechts die Gestalt . Die Richtungstangenten der beiden Kurven können also nur dann linear abhängig sein, wenn ist, was wegen nicht möglich ist.

Betrachten wir noch die unendlich fernen Punkte. Die Homogenisierungen sind , so dass der einzige unendlich ferne Punkt auf ist, und , so dass der einzige unendlich ferne Punkt auf ist. Diese Punkte sind verschieden, es gibt also keinen weiteren Schnittpunkt im Unendlichen.

Die Gesamtsumme der Schnittmultiplizitäten ist demnach . Da die beteiligten Kurven den Grad und besitzen, stimmt das mit dem Produktgrad überein, was die Behauptung des Satzes von Bezout ist.