Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Übersicht zur Nenneraufnahme

Wir erinnern an die Begriffe multiplikatives System und Nenneraufnahme.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

1. ${}1\in S$,
2. Wenn ${}f,g\in S$, dann ist auch ${}fg\in S$,

gelten.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann ist das Komplement ${}R\setminus {\mathfrak {p}}$ ein multiplikatives System. Dies folgt unmittelbar aus der Definition.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$ ein Element. Dann bilden die Potenzen ${}f^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ein multiplikatives System.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Dann bilden alle von ${}0$ verschiedenen Elemente in ${}R$ ein multiplikatives System, das mit ${}R^{*}=R\setminus \{0\}$ bezeichnet wird.

Definition

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System, ${}0\notin S$. Dann nennt man den Unterring

${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$

die Nenneraufnahme zu ${}S$.

Für die Nenneraufnahme an einem Element ${}f$ schreibt man einfach ${}R_{f}$ statt ${}R_{\{f^{n}:n\in {\mathbb {N} }\}}$.

Man kann eine Nenneraufnahme auch dann definieren, wenn ${}R$ kein Integritätsbereich ist, siehe Aufgabe 13.2.