Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 1/latex

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\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere im $\R^2$ die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen. \aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {
\mathl{x^2-y^2 -1 = 0}{,} }{
\mathl{x^2+xy+y^2 = 0}{,} }{
\mathl{x^2+y^2 +1 = 0}{,} }{
\mathl{x^2+y^2 = 0}{,} }{
\mathl{x^2+y^3 = 0}{,} } } {\itemfuenf {
\mathl{x^3-y^5 = 0}{,} }{
\mathl{x^2-x^3 = 0}{,} }{
\mathl{x^3+y^3 = 1}{,} }{
\mathl{x^4+y^4 = 1}{,} }{
\mathl{-5+3x+4x^2+x^3-y^2 = 1}{.} } }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne den Durchschnitt der Kurven aus Aufgabe 1.1 mit den folgenden Geraden. \aufzaehlungsieben{
\mathl{x=0}{,} }{
\mathl{y=0}{,} }{
\mathl{x=1}{,} }{
\mathl{y=-2}{,} }{
\mathl{x=y}{,} }{
\mathl{x=-y}{,} }{
\mathl{2x-3y+4=0}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Multipliziere in
\mathl{\Z[x,y,z]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Multipliziere in
\mathl{\Z/(5) [x,y]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \text{ und } x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere den Zusammenhang zwischen ebenen algebraischen Kurven und dem Satz über implizite Funktionen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{C \subseteq \R^2}{} das \definitionsverweis {Bild}{}{} unter der polynomialen Abbildung \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} { \left( t^3-1 , \, t^2-1 \right) } {.} Bestimme ein Polynom
\mathl{F\neq 0}{} in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{K= \Z/(7)}{.} Bestimme alle Punkte in
\mathl{K^2=K \times K}{,} die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2Y + 2Y^3+3Y^2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind: \aufzaehlungzwei {$K$ ist \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.} } {Jedes nicht-konstante Polynom
\mathl{F\in K[X]}{} zerfällt in Linearfaktoren. }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte Gleichungen der Form
\mathdisp {y^2=G(x) \text{ mit } G(x) = x^3+ax^2+bx+c} { }
über $\R$. Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten
\mathl{a,b,c \in \{1,-1,0\}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Führe in
\mathl{\Z/(7) [X]}{} folgende Polynomdivision aus.
\mathdisp {X^4+5X^2+ 3 \, \text{ durch } \, 2X^2+X+6} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z/(3) [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $4$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für die Körper
\mathl{K= \Z/(2)}{,}
\mathl{\Z/(5)}{} und
\mathl{\Z/(11)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{C \subseteq {\mathbb C}^2}{} das \definitionsverweis {Bild}{}{} unter der polynomialen Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}^2 } {t} { \left( t^3-t^2+4t+3 , \, -t^2+5t-1 \right) } {.} Bestimme ein Polynom
\mathl{F\neq 0}{} in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {f} {\R} {S^1 \subseteq \R^2 } {,} die einem Punkt
\mathl{t \in \R}{} den eindeutigen Schnittpunkt
\mathl{\neq (0,-1)}{} der durch die beiden Punkte \mathkor {} {(t,1)} {und} {(0,-1)} {} gegebenen Geraden
\mathl{G_t}{} mit dem \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1 }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist. Ist $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{,} ist $f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{?}

}
{} {}



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