Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere im $\R^2$ die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
\aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {
\mathl{x^2-y^2 -1 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2+xy+y^2 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2+y^2 +1 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2+y^2 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2+y^3 = 0}{,}
} } {\itemfuenf {
\mathl{x^3-y^5 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2-x^3 = 0}{,}
}{
\mathl{x^3+y^3 = 1}{,}
}{
\mathl{x^4+y^4 = 1}{,}
}{
\mathl{-5+3x+4x^2+x^3-y^2 = 1}{.}
} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne den Durchschnitt der Kurven aus
Aufgabe 1.1
mit den folgenden Geraden.
\aufzaehlungsieben{
\mathl{x=0}{,}
}{
\mathl{y=0}{,}
}{
\mathl{x=1}{,}
}{
\mathl{y=-2}{,}
}{
\mathl{x= y}{,}
}{
\mathl{x=-y}{,}
}{
\mathl{2x-3y+4=0}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Multipliziere in
\mathl{\Z[x,y,z]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Multipliziere in
\mathl{\Z/(5) [x,y]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \text{ und } x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere den Zusammenhang zwischen \definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurven}{}{} und dem Satz über implizite Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
unter der polynomialen Abbildung
\maabbeledisp {} {\R} {\R^2
} {t} { \left( t^3-1 , \, t^2-1 \right)
} {.}
Bestimme ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei
\mathl{K= \Z/(7)}{.} Bestimme alle Punkte in
\mathl{K^2=K \times K}{,} die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2Y + 2Y^3+3Y^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:
\aufzaehlungzwei {$K$ ist
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.}
} {Jedes nicht-konstante Polynom
\mathl{F\in K[X]}{} zerfällt in Linearfaktoren.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte Gleichungen der Form
\mathdisp {y^2=G(x) \text{ mit } G(x) = x^3+ax^2+bx+c} { }
über $\R$. Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten
\mathl{a,b,c \in \{1,-1,0\}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Führe in
\mathl{\Z/(7) [X]}{} folgende Polynomdivision aus.
\mathdisp {X^4+5X^2+ 3 \, \text{ durch } \, 2X^2+X+6} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{F_3 [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/(2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mathl{\Z/(5)}{} und
\mathl{\Z/(11)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mathl{C \subseteq {\mathbb C}^2}{} das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
unter der polynomialen Abbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}^2
} {t} { \left( t^3-t^2+4t+3 , \, -t^2+5t-1 \right)
} {.}
Bestimme ein Polynom
\mathl{F\neq 0}{} in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {f} {\R} {S^1 \subseteq \R^2
} {,}
die einem Punkt
\mathl{t \in \R}{} den eindeutigen Schnittpunkt
\mathl{\neq (0,-1)}{} der durch die beiden Punkte
\mathkor {} {(t,1)} {und} {(0,-1)} {}
gegebenen Geraden
\mathl{G_t}{} mit dem
\definitionsverweis {Einheitskreis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass $f$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist. Ist $f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
ist $f$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{?}
}
{} {}
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