Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 1

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Skizziere im die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. ,
  10. .


Aufgabe

Berechne den Durchschnitt der Kurven aus Aufgabe 1.1 mit den folgenden Geraden.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. .


Aufgabe

Multipliziere in die beiden Polynome


Aufgabe

Multipliziere in die beiden Polynome


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass nicht endlich sein kann.


Aufgabe

Diskutiere den Zusammenhang zwischen ebenen algebraischen Kurven und dem Satz über implizite Funktionen.


Aufgabe

Es sei das Bild unter der polynomialen Abbildung

Bestimme ein Polynom in zwei Variablen derart, dass auf dem Nullstellengebilde zu liegt.


Aufgabe

Sei . Bestimme alle Punkte in , die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung

gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?


Aufgabe *

Sei ein Integritätsbereich und der Polynomring über . Zeige, dass die Einheiten von genau die Einheiten von sind.


Aufgabe *

Sei ein Körper. Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:

  1. ist algebraisch abgeschlossen.
  2. Jedes nicht-konstante Polynom zerfällt in Linearfaktoren.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte Gleichungen der Form

über . Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten .


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in folgende Polynomdivision aus.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme im Polynomring alle irreduziblen Polynome vom Grad .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung

für die Körper , und .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei das Bild unter der polynomialen Abbildung

Bestimme ein Polynom in zwei Variablen derart, dass auf dem Nullstellengebilde zu liegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

die einem Punkt den eindeutigen Schnittpunkt der durch die beiden Punkte und gegebenen Geraden mit dem Einheitskreis

zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass differenzierbar ist. Ist injektiv, ist surjektiv?




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