Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 2/latex

\setcounter{section}{2}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte in
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }}{} die beiden Ebenen
\mathdisp {E_1=V(3x+4y+5z) \text{ und } E_2 =V(2x-y+3z)} { . }
Parametrisiere den Schnitt
\mathl{E_1 \cap E_2}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (a_1 , \ldots , a_n) }
{ \in }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das zugehörige Ideal
\mathdisp {(X_1-a_1, X_2-a_2 , \ldots , X_n-a_n)} { }
\definitionsverweis {maximal}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige: Der Durchschnitt von zwei verschiedenen Kreisen in der affinen Ebene ist der Durchschnitt eines Kreises mit einer Geraden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

\aufzaehlungzweiabc{Skizziere die reellen Nullstellengebilde von
\mathl{Y^n-X^n}{} }{Bestimme das Verschwindungsideal zu den affin-algebraischen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_n }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{\R} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die aus allen Geraden durch den Nullpunkt und durch die Eckpunkte eines regulären $n$-Ecks (mit $(1,0)$ als einem Eck) besteht. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme \definitionsverweis {Idealerzeuger}{}{} für ein \definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} }
{ \subseteq }{ \R [X,Y,Z] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} dessen Nullstellenmenge genau die vier Punkte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2,3,4), (1,1/5,0), (0,0,1), (-1,-2,\sqrt{3}) }
{ \in} { { {\mathbb A}_{ \R }^{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme alle simultanen Lösungen der beiden Gleichungen
\mathdisp {x^3+y^2 = 2 \text{ und } 2xy =3} { }
für die \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Z/( 3 ) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $\Z/( 5 )$ und $\Z/( 7 )$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme alle Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2+xy }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für die \definitionsverweis {Körper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \mathbb F_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} $\mathbb F_4$ und $\mathbb F_8$.Man kann für die Körper diese Darstellungen verwenden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven
\mathdisp {C=V(x^2+2y^2+3xy+x-2) \text{ und } L=V(4x+3y-5)} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $S$ das Nullstellengebilde in ${ {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }$, das durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} { z^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Der Schnitt von $S$ mit einer Ebene $E$ ist eine Kurve und wird in $E$ durch eine Gleichung in zwei \zusatzklammer {geeigneten} {} {} Variablen beschrieben. Finde eine solche Gleichung für die Ebenen
\mathdisp {E_1=V( x),\, E_2=V(z-1), \, E_3 =V(x+2y+3z ),\, E_4 = V(3x-2z)} { . }

}
{} {}