Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 3

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und . Zeige, dass ein Punkt nicht die Nullstellenmenge zu einem einzigen Polynom ist.


Aufgabe

Es sei ein endlicher Körper und eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.


Aufgabe

Man beschreibe eine Abbildung

die bezüglich der Zariski-Topologie stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.


Aufgabe

Charakterisiere in die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.


Aufgabe *

Zeige, dass ein Ideal in einem kommutativen Ring genau dann ein Radikal ist, wenn der Restklassenring reduziert ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.


Aufgabe

Seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Radikal in . Zeige, dass das Urbild ein Radikal in ist.


Aufgabe

Seien und zwei Ideale in derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass die Nullstellenmenge eines einzigen Polynoms ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Menge der reellen trigonalisierbaren -Matrizen im keine affin-algebraische Menge ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei

eine Abbildung, die durch Polynome in Variablen gegeben sei. Zeige, dass stetig bezüglich der Zariski-Topologie ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere Zariski-offene Menge dicht ist.

Tipp: Induktion über .

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene den Zariski-Abschluss.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. .


Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper.

  1. Man zeige, dass für bzw. die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie.
  2. Man zeige, dass für die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für mit ?
  3. Wann ist die Zariski-Topologie , wann ist sie hausdorffsch?
  4. Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn ein endlicher Körper ist?




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