Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 21/latex

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\setcounter{section}{21}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit Quotientenkörper $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit Quotientenkörper $Q$. Charakterisiere die endlich erzeugten $R$-Untermoduln von $Q$. Auf welche Form kann man ein Erzeugendensystem bringen?

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise für einen \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{} die Eigenschaften der \definitionsverweis {Ordnung}{}{,} die in Lemma 21.5 formuliert sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.} Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mathdisp {\operatorname{ord}(q) \in \Z} { . }
Dabei soll die Definition mit der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus \maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z } {} definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein Körper und $K(T)$ der Körper der rationalen Funktionen über $K$. Finde einen \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mathl{R \subset K(T)}{} mit
\mathl{Q(R)=K(T)}{} und mit
\mathl{R\cap K[T]= K}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein Körper. Eine
\definitionswortenp{Potenzreihe in einer Variablen}{} über $K$ ist ein formaler Ausdruck der Form
\mathdisp {a_0+a_1T+a_2T^2+a_3T^3+ \ldots \text{ mit } a_i \in K} { . }
Es kann hier also unendlich viele von $0$ verschiedene Koeffizienten $a_i$ geben. Definiere eine Ringstruktur auf der Menge aller Potenzreihen, die die Ringstruktur auf dem Polynomring in einer Variablen fortsetzt. Zeige, dass dieser Ring ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein Integritätsbereich mit folgender Eigenschaft: zu je zwei Elementen
\mathl{f,g \in R}{} gelte, dass $f$ ein Teiler von $g$ ist oder dass $g$ ein Teiler von $f$ ist. Es sei $R$ noethersch, aber kein Körper. Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein noetherscher \definitionsverweis {abstrakter Bewertungsring}{}{} schon diskret ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in
\mathl{K[X,Y]_{(X,Y)}/(X^2-Y^3)}{} jedes Ideal durch maximal zwei Erzeuger gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer ebenen monomialen Kurve und eines Ideals im zugehörigen lokalen Ring der Singularität, das nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann.

}
{} {}



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