Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Vorlesung 21

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Diskrete Bewertungsringe

Wir setzen nun die lokale Untersuchung von algebraischen Kurven fort und werden im weiteren Verlauf verschiedene Charakterisierungen dafür finden, dass ein Punkt einer Kurve nichtsingulär (oder glatt) ist. Zu dem Punkt auf der Kurve gehört der lokale Ring in , der die Lokalisierung des affinen Koordinatenringes der Kurve am maximalen Ideal ist, das zu gehört. Wenn ist, so lässt sich der lokale Ring in doppelter Weise beschreiben, nämlich als

(dabei ist das maximale Ideal aufgefasst im Restklassenring). Dieser Ring beschreibt die wesentlichen algebraischen Eigenschaften des Punktes auf der Kurve. Wichtig ist zunächst der Begriff des diskreten Bewertungsringes.


Definition  

Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.



Lemma

Ein diskreter Bewertungsring ist

ein lokaler, noetherscher Hauptidealbereich mit genau zwei Primidealen, nämlich und dem maximalen Ideal .

Beweis

Ein diskreter Bewertungsring ist kein Körper. In einem Hauptidealbereich, der kein Körper ist, wird jedes maximale Ideal von einen Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen können nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. Ebenso wird jedes von null verschiedene Primideal durch ein Primelement erzeugt, so dass es neben dem maximalen Ideal nur noch das Nullideal gibt.

Beispiel  

Es sei ein Hauptidealbereich und ein maximales Ideal. Dieses ist ein Hauptideal und wird durch ein Primelement, sagen wir , erzeugt. Die Lokalisierung

ist nach Satz 15.4 ein lokaler Ring mit dem maximalen Ideal , das ebenfalls von erzeugt wird. Alle Primelemente , die nicht zu assoziiert sind, werden in der Lokalisierung zu Einheiten. Daher gibt es in der Lokalisierung bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement, und somit liegt ein diskreter Bewertungsring vor. Für und eine Primzahl ist der Unterring der rationalen Zahlen, deren Nenner kein Vielfaches von sind.



Definition  

Zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.

Die Ordnung ist also nichts anderes als der Exponent zum (bis auf Assoziiertheit) einzigen Primelement in der Primfaktorzerlegung. Sie hat folgende Eigenschaften.


Lemma

Sei ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal .

Dann hat die Ordnung

folgende Eigenschaften.

  1. .
  2. .
  3. genau dann, wenn .
  4. genau dann, wenn .

Beweis

Siehe Aufgabe 21.3.


Wir wollen eine wichtige Charakterisierung für diskrete Bewertungsringe beweisen, die insbesondere beinhaltet, dass ein normaler lokaler Integritätsbereich mit genau zwei Primidealen bereits ein diskreter Bewertungsring ist. Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen.



Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und sei nicht nilpotent.

Dann gibt es ein Primideal in mit .

Beweis  

Wir betrachten die Menge der Ideale

Diese Menge ist nicht leer, da sie das Nullideal enthält. Ferner ist sie induktiv geordnet (bezüglich der Inklusion). Ist nämlich , , eine total geordnete Teilmenge von , so ist deren Vereinigung ebenfalls ein Ideal, das keine Potenz von enthält. Nach dem Lemma von Zorn gibt es daher maximale Elemente in .

Wir behaupten, dass ein solches maximales Element ein Primideal ist. Sei dazu und , und sei angenommen. Dann hat man echte Inklusionen

Wegen der Maximalität können die beiden Ideale rechts nicht zu gehören, und das bedeutet, dass es Exponenten gibt mit

Dann ergibt sich der Widerspruch




Lemma  

Sei ein noetherscher lokaler kommutativer Ring. Es sei vorausgesetzt, dass das maximale Ideal das einzige Primideal von ist.

Dann gibt es einen Exponenten mit

Beweis  

Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in eine Einheit oder nilpotent ist. Sei hierzu keine Einheit. Dann ist . Angenommen, ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach Aufgabe ***** ein Primideal in mit . Damit ergibt sich der Widerspruch .

Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem von eine natürliche Zahl mit für alle . Sei . Dann ist ein beliebiges Element aus von der Gestalt

Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen und , so dass ein mit einem Exponenten vorkommt. Daher ist das Produkt .




Satz  

Sei ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein diskreter Bewertungsring.
  2. ist ein Hauptidealbereich.
  3. ist faktoriell.
  4. ist normal.
  5. ist ein Hauptideal.

Beweis  

folgt direkt aus der Definition 21.1.

folgt aus der allgemeinen Aussage, dass jeder Hauptidealbereich faktoriell ist.

folgt aus Satz 20.3.

. Sei , . Dann ist ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich ). Daher gibt es nach Satz 21.7 ein mit . Zurückübersetzt nach heißt das, dass gilt. Wir wählen minimal mit den Eigenschaften

Wähle mit und betrachte

(es ist ). Das Inverse, also , gehört nicht zu , sonst wäre . Da nach Voraussetzung normal ist, ist auch nicht ganz über . Nach dem Modulkriterium Lemma 19.9 für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal die Beziehung

ist. Nach Wahl von ist aber auch

Daher ist ein Ideal in , das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist . Das heißt einerseits und andererseits gilt für ein beliebiges die Beziehung , also , also und somit .

. Sei . Dann ist ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Sei , keine Einheit. Dann ist und daher . Dann ist eine Einheit oder . Im zweiten Fall ist wieder und .

Wir behaupten, dass man mit einer Einheit schreiben kann. Andernfalls könnte man mit beliebig großem schreiben. Nach Satz 21.7 gibt es ein mit . Bei ergibt sich und der Widerspruch .

Es lässt sich also jede Nichteinheit als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist faktoriell. Für ein beliebiges Ideal ist mit Einheiten . Dann sieht man leicht, dass ist mit .



Das Lemma von Nakayama

Nach dem vorangehenden Überlegungen liegt ein diskreter Bewertungsring genau dann vor, wenn der lokale Integritätsbereich die Eigenschaft hat, dass das maximale Ideal durch ein Element erzeugt wird. Es ist von daher naheliegend, generell die lokalen Ringe zu Punkten auf einer algebraischen Kurve dahingehend zu studieren, wie viele Erzeuger das maximale Ideal benötigt. Dies führt zum Begriff der Einbettungsdimension, den wir schon im Zusammenhang mit monomialen Kurven erwähnt haben. Diese Einbettungsdimension ist auch die Dimension des -Vektorraumes , für diesen Zusammenhang brauchen wir aber einige Vorbereitungen und insbesondere das Lemma von Nakayama.

Im Lemma von Nakayama wird folgende Konstruktion betrachtet: Zu einem -Modul , einem Untermodul und einem Ideal bezeichnet man mit den -Untermodul von , der von allen Elementen der Form , erzeugt wird (dies ist auch ein -Untermodul von ). Ist ebenfalls ein Ideal (also ein -Untermodul von ) so fällt dieses Konzept mit dem Produkt von Idealen zusammen. Der Restklassenmodul ist dabei in natürlicher Weise nicht nur ein -Modul, sondern auch ein -Modul. Wenn ein maximales Ideal ist, so bedeutet dies, dass der Restklassenmodul sogar ein Vektorraum über dem Restklassenkörper ist.



Lemma  

Sei ein lokaler Ring und sei ein endlich erzeugter -Modul. Es sei vorausgesetzt.

Dann ist .

Beweis  

Sei ein Erzeugendensystem von . Nach Voraussetzung gibt es wegen zu jedem eine Darstellung

mit . Daraus ergibt sich für jedes eine Darstellung

Da ist, ist der Koeffizient eine Einheit. Dies bedeutet aber, dass man nach auflösen kann, so dass also überflüssig ist. So kann man sukzessive auf alle Erzeuger verzichten, was bedeutet, dass der Nullmodul vorliegen muss.



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