Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 24/latex

\setcounter{section}{24}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe ein Beispiel einer glatten Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer Parametrisierung, deren Differential an mindestens einem Punkt verschwindet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte das Achsenkreuz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V(xy) }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und den zum Nullpunkt gehörigen \definitionsverweis {lokalen Ring}{}{} $R$ mit \definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{} ${\mathfrak m}$. Beschreibe explizit eine $K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} für die \definitionsverweis {Restklassenringe}{}{} $R/{\mathfrak m}^n$ und bestimme die \definitionsverweis {Dimensionen}{}{} davon.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K [ \![ T]\! ]}{} der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.} Man gebe die inverse Potenzreihe zu
\mathl{1-T}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (T) }
{ \subseteq }{ K[T] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das zum Nullpunkt gehörige \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{} mit der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[T]_{\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Definiere einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomo\-morphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} { R } { K [ \![ T]\! ] } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(T) }
{ = }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{,} wobei
\mathl{K [ \![ T]\! ]}{} den \definitionsverweis {Ring der formalen Potenzreihen}{}{} bezeichnet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich $c_4$) der eingesetzten Potenzreihe $F(G)$ im Sinne von Definition 24.9.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für ein irreduzibles reelles Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ \R[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass beide partiellen Ableitungen übereinstimmen und nicht konstant sind. Zeige, dass dies über ${\mathbb C}$ nicht möglich ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Kurve
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(X^2-Y^2-Y^3) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der in Beispiel 24.3 besprochenen Parametrisierung. Bestimme die singulären Punkte der Kurve zusammen mit den Multiplizitäten und Tangenten. Berechne ebenfalls die Bildpunkte und die Tangenten für die Parameterwerte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ = }{ -1,0,1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe eine formale Potenzreihe über ${\mathbb C}$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper. Vergleiche die beiden Ringe \mathkor {} {(K[X])[ \![Y]\! ]} {und} {(K [ \![ Y]\! ])[X]} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} kommutativer Ring. Man zeige, dass
\mathl{R [[ T_1, \ldots , T_{ n }]]}{} noethersch ist.

}
{} {Hinweis: Lassen Sie sich vom Beweis des Hilbertschen Basissatzes inspirieren!}