Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
zu einem einzigen Polynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \{ P_1,P_2 , \ldots , P_m \}
}
{ \in }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass $M$ die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
eines einzigen Polynoms ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man beschreibe eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{ K } } { {\mathbb A}^{1}_{ K } } {,} die bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere in $\Z$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} { R } { S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Es sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak a} )}{} ein Radikal in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien ${\mathfrak a}$ und ${\mathfrak b}$
\definitionsverweis {Ideale}{}{}
in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} derart, dass ihre
\definitionsverweis {Radikale}{}{}
gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre
\definitionsverweis {Nullstellenmengen}{}{}
übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \{ P_1,P_2 , \ldots , P_m \}
}
{ \in }{ { {\mathbb A}_{ \R }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass $M$ die
\definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{}
eines einzigen Polynoms ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der reellen
\definitionsverweis {trigonalisierbaren}{}{}
$(2\times 2)$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
im
\mathl{{ {\mathbb A}_{ \R }^{ 4 } }}{} keine
\definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } {} eine Abbildung, die durch $m$ Polynome in $n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass $\varphi$ stetig bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere
\definitionsverweis {Zariski-offene}{}{}
Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {dicht}{}{}
ist.
}
{} {Tipp: Induktion über $n$.}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene $\mathbb A^2_K$ den
\definitionsverweis {Zariski-Abschluss}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{
\mathl{{ \left\{ (x, \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (\cos (x), \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \R \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \Q \right\} }}{,}
}{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid x \in \Z/(5) \right\} }}{.}
}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
\aufzaehlungvier{Man zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Standardtopologie
\zusatzklammer {die metrische oder euklidische Topologie} {} {}
feiner ist als die
\definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{}
auf
\mathl{{\mathbb A}^{1}_{K}}{.}
}{Man zeige, dass für ${\mathbb A}^{1}_{K}$ die Zariski-Topologie mit der
\definitionsverweis {kofiniten Topologie}{}{}
übereinstimmt. Gilt dies auch für
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}{Wann erfülltt die Zariski-Topologie auf
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} die Eigenschaft $T_1$, wann ist sie
\definitionsverweis {hausdorffsch}{}{?}
}{Wie sieht die Zariski-Topologie auf
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} aus, wenn $K$ ein endlicher Körper ist?
}
}
{} {}
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