Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 3/latex

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\setcounter{section}{3}






\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mathl{n \geq 2}{.} Zeige, dass ein Punkt
\mathl{P \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} nicht die \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} zu einem einzigen Polynom ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} und
\mathl{M=\{ P_1,P_2 , \ldots , P_m \} \in { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass $M$ die \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} eines einzigen Polynoms ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man beschreibe eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} { {\mathbb A}^{1}_{K} } {{\mathbb A}^{1}_{K} } {,} die bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} stetig ist, die aber nicht durch ein Polynom gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Charakterisiere in $\Z$ die Radikale mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein Primideal ein Radikal ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Seien $R$ und $S$ \definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{} und sei
\mathl{\varphi: R \rightarrow S}{} ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.} Sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} in $S$. Zeige, dass das Urbild
\mathl{\varphi^{-1}( {\mathfrak a})}{} ein Radikal in $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Seien $\mathfrak a$ und $\mathfrak b$ zwei Ideale in
\mathl{K[X_1, \ldots, X_n]}{} derart, dass ihre Radikale gleich sind. Zeige, dass dann auch ihre Nullstellenmengen übereinstimmen. Zeige durch ein Beispiel, dass die Umkehrung nicht stimmt.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M=\{ P_1,P_2 , \ldots , P_m \} \in { {\mathbb A}_{ \R }^{ n } }}{} eine endliche Menge von Punkten. Zeige, dass $M$ die \definitionsverweis {Nullstellenmenge}{}{} eines einzigen Polynoms ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der reellen \definitionsverweis {trigonalisierbaren}{}{} $(2\times 2)$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} im
\mathl{{ {\mathbb A}_{ \R }^{ 4 } }}{} keine \definitionsverweis {affin-algebraische Menge}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabbdisp {\varphi} {{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } } } { { {\mathbb A}_{ K }^{ m } } } {} eine Abbildung, die durch $m$ Polynome in $n$ Variablen gegeben sei. Zeige, dass $\varphi$ stetig bezüglich der \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper. Zeige, dass jede nichtleere \definitionsverweis {Zariski-offene}{}{} Menge
\mathl{U \subseteq \mathbb A^n_K}{} \definitionsverweis {dicht}{}{} ist.

}
{} {Tipp: Induktion über $n$.}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme zu den folgenden Teilmengen der affinen Ebene $\mathbb A^2_K$ den \definitionsverweis {Zariski-Abschluss}{}{.} \aufzaehlungfuenf{
\mathl{{ \left\{ (x, \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ (\cos (x), \sin (x)) \mid x \in \R \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \R \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid 0 \leq x \leq 1 , \, x \in \Q \right\} }}{,} }{
\mathl{{ \left\{ (x,x^3) \mid x \in \Z/(5) \right\} }}{.} }

}
{} {}

Die folgende Aufgabe benutzt einige weiterführende topologische Begriffe.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper. \aufzaehlungvier{Man zeige, dass für
\mathl{K = \R}{} bzw.
\mathl{K = {\mathbb C}}{} die Standardtopologie \zusatzklammer {die metrische oder euklidische Topologie} {} {} feiner ist als die \definitionsverweis {Zariski-Topologie}{}{.} }{Man zeige, dass für $K[X]$ die Zariski-Topologie mit der \definitionsverweis {kofiniten Topologie}{}{} übereinstimmt. Gilt dies auch für
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{} mit
\mathl{n > 1}{?} }{Wann ist die Zariski-Topologie $T_1$, wann ist sie \definitionsverweis {hausdorffsch}{}{?} }{Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn $K$ ein endlicher Körper ist? }

}
{} {}



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