Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 30/latex

\setcounter{section}{30}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige durch ein Beispiel, dass Lemma 30.2 nicht ohne die Voraussetzung gilt, dass der Körper \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in den in Beispiel 30.6 berechneten Schnittpunkten
\mathl{\neq (0,0)}{} der beiden Kurven ein \definitionsverweis {transversaler Schnitt}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme für die beiden affinen Kurven
\mathdisp {V { \left( Y-X^3 \right) } \text{ und } V { \left( Y^2-X^3 \right) }} { }
ihre Schnittpunkte zusammen mit den \definitionsverweis {Schnittmultiplizitäten}{}{.} Betrachte auch Schnittpunkte im ${\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C}}$ und bestätige den Satz von Bezout in diesem Beispiel.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} und betrachte die beiden ebenen algebraischen Kurven
\mathdisp {C=V { \left( X-Y^2 \right) } \text{ und } D=V { \left( Y^2-X^5 \right) }} { . }
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Kurven in der affinen Ebene und bestimme jeweils die Schnittmultiplizität. Bestimme auch die unendlich fernen Punkte der beiden Kurven \zusatzklammer {also die zusätzlichen Punkte auf den projektiven Abschlüssen $\bar{C}$ und $\bar{D}$} {} {} und überprüfe damit die Schnittpunkte im Unendlichen. Bestätige abschließend, dass der Satz von Bezout in diesem Beispiel erfüllt ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{6}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine glatte Quadrik \zusatzklammer {also eine Kurve vom Grad zwei} {} {} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{.} Zeige, dass es eine Isomorphie der Kurve mit der projektiven Geraden ${\mathbb P}^{1}_{K}$ gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ \subset }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {glatte Kurve}{}{} vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es einen \definitionsverweis {Morphismus}{}{} \maabb {} { C } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {} derart gibt, dass jede Faser aus maximal
\mathl{d-1}{} Punkten besteht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V_+ { \left( X^3+Y^3+Z^3 \right) } }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{K} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \stichwort {Fermat-Kubik} {} über einem \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 3$. Beschreibe explizit einen Morphismus \maabb {} { C } { {\mathbb P}^{1}_{K} } {,} bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ \subseteq }{ {\mathbb P}^{2}_{ {\mathbb C}} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der komplex-projektive Abschluss des Einheitskreises. Bestimme eine explizite bijektive Parametrisierung \maabb {} { {\mathbb P}^{1}_{ {\mathbb C}} } { C } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden \definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V_+ { \left( ZY^2-X^3 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ = }{ V_+ { \left( X^2+(Y-Z)^2-Z^2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{Skizziere die Situation.} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden \definitionsverweis {ebenen projektiven Kurven}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C }
{ = }{ V_+ { \left( ZY-X^2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ = }{ V_+{ \left( X^2+(Y-Z)^2-Z^2 \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{Skizziere die Situation.} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestätige den Satz von Bezout für die beiden monomialen Kurven, die affin durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(X^2-Y^3) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ = }{ V(X^5-Y^4) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien $M, N$ $R$-Moduln. Ist \maabbdisp {f} { M } { N } {} ein $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{,} so ist \maabbeledisp {f^\ast} { \operatorname{Hom} \, (N,R) } { \operatorname{Hom} \, (M,R) } {\varphi } {\varphi \circ f } {,} auch ein $R$-Modulhomomorphismus.

Es sei nun $0 \to M \to N \to P \to 0$ eine \definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{} von $R$-Moduln.

Zeige, dass dann die induzierte Sequenz
\mathdisp {0 \longrightarrow \operatorname{Hom} \, (P,R) \longrightarrow \operatorname{Hom} \, (N,R) \longrightarrow \operatorname{Hom} \, (M,R)} { }
exakt ist. Man gebe auch ein Beispiel mit $R = \Z$, das zeigt, dass der letzte Pfeil im Allgemeinen nicht surjektiv ist.

}
{} {}