Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 7/latex

\setcounter{section}{7}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Transformiere die Quadrik
\mathdisp {2x^2+xy-3y^2+5x-y+3} { }
auf eine reelle Standardgestalt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Parametrisiere die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { 2x^2-xy+3y^2+x-5y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Quadrik mit Hilfe des Nullpunktes und der Geraden
\mathl{V(y-1)}{}.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Betrachte die beiden Kreise
\mathdisp {X^2+Y^2=1 \text{ und } 4X^2+3Y^2 =9} { . }
Zeige, dass die beiden Kreise über $\R$ \definitionsverweis {affin-linear äquivalent}{}{} sind, aber nicht über $\Q$.

}
{} {Tipp: Eine Argumentationsmöglichkeit ergibt sich aus Satz 68.2 (Mathematik (Osnabrück 2009-2011)).}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ (0,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Nullpunkt in der reellen Ebene und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ V(X-1) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine reelle Zahl. Bestimme eine algebraische Gleichung für die Menge der Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ (x,y) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft, dass der Abstand $d(P,F)$ proportional mit Proportionalitätsfaktor $\sqrt{e}$ zum \zusatzklammer {senkrechten} {} {} Abstand $d(P,G)$ ist.

Zeige, indem Sie die Gleichung geeignet transformieren, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Ellipse, bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Parabel und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e }
{ > }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Hyperbel vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die Nullstellenmenge $V(F)$ nicht der gesamte affine Raum ${ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }$ ist.

}
{\zusatzklammer {Aus dieser Aufgabe folgt auch Aufgabe 3.12} {} {.}} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das Bild der Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{1}_{ K } \setminus \{-1,0,1\}} { {\mathbb A}^{2}_{ K } } { t } { \left( { \frac{ t }{ t^2-1 } } , \, { \frac{ 1 }{ t } } \right) } {} eine nichttriviale algebraische Gleichung.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb A}^{2}_{K} } { {\mathbb A}^{2}_{K} } { (u,v) } { (u^2+uv,v-u^2) = (x,y) } {.} Bestimme zu den drei folgenden Scharen aus parallelen Geraden die Bildkurven der Geraden unter dieser Abbildung \zusatzklammer {man gebe sowohl eine Parametrisierung als auch eine Kurvengleichung} {} {.} Man skizziere auch typische Bildkurven für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Die zur $u$-Achse parallelen Geraden, }{die zur $v$-Achse parallelen Geraden, }{die zur Antidiagonalen parallelen Geraden. } Bestimme zu jeder Schar, ob sich die Bildkurven überschneiden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Finde für die verschiedenen reellen Quadriken eine Realisierung als Kegelschnitt, also als Schnitt einer Ebene mit dem Kegel
\mathl{V(x^2+y^2-z^2)}{,} oder beweise, dass es eine solche Realisierung nicht gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die beiden Restklassenringe
\mathdisp {R=\R [X,Y]/(X^2+Y^2-1) \text{ und } S=\R [X,Y]/(XY-1)} { . }
Zeige: $S$ ist ein \definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{,} $R$ hingegen nicht.

}
{(Das sind die Ringe, die zum reellen Kreis und zur reellen Hyperbel gehören.) } {Tipp: Man betrachte für $R$ das Ideal $(X-1,Y)$.}

\inputaufgabe
{}
{

Parametrisiere die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F }
{ =} { x^2+2xy-y^2+x-3y+4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Quadrik
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C }
{ = }{ V(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit Hilfe des Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (1,2) }
{ \in }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und der $y$-Achse. Führe keine Variablentransformation durch.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C }
{ =} { V(X^{d+1}-Y^d) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte algebraische Kurve $C$ \zusatzklammer {\mathlk{d \geq 1}{}} {} {.} Zeige, dass man mit dem Nullpunkt und der Geraden
\mathl{V(X-1)}{} eine Parametrisierung von $C$ erhält mit der im Beweis zu Satz 7.6 beschriebenen Methode.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ \in }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {irreduzibles}{}{} Polynom. Zeige, dass die Kurve $V(F)$ genau dann \definitionsverweis {rational}{}{} ist, wenn es einen injektiven $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbdisp {} { Q(K[X,Y]/(F)) } { K(T) } {} gibt.

}
{(Hier steht links der Quotientenkörper und rechts der rationale Funktionenkörper.)} {}