Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 9/latex

\setcounter{section}{9}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe, warum der Ring
\mathdisp {\Z[X,Y,Z,W]/(XY-ZW, 5X^8-YZ^3+2WXY)} { }
\definitionsverweis {noethersch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subseteq {\mathfrak a}_2 \subseteq {\mathfrak a}_3 \subseteq \ldots} { }
eine aufsteigende Kette von \definitionsverweis {Idealen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathdisp {K[X_n, \, n \in \N]} { }
der Polynomring über $K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen \definitionsverweis {Reduktion}{}{} ein Körper ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von \definitionsverweis {affin-algebraischen Mengen}{}{} in
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} und von \definitionsverweis {Idealen}{}{} in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.} Zeige die folgenden Aussagen.

a) Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette
\mathdisp {V_0 \subseteq V_1 \subseteq V_2 \subseteq \ldots} { }
von affin-algebraischen Mengen stationär.

b) Für einen unendlichen Körper und
\mathl{n \geq 1}{} wird nicht jede aufsteigende Kette
\mathdisp {V_0 \subseteq V_1 \subseteq V_2 \subseteq \ldots} { }
von affin-algebraischen Mengen stationär.

c) Für \zusatzklammer {einen beliebigen Körper und} {} {}
\mathl{n \geq 1}{} wird nicht jede absteigende Idealkette
\mathdisp {{\mathfrak a}_0 \supseteq {\mathfrak a}_1 \supseteq {\mathfrak a}_2 \supseteq \ldots} { }
stationär.

d) Für einen unendlichen Körper und
\mathl{n \geq 1}{} gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit dem \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S }
{ =} { R/{\mathfrak a} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.

}
{Zeige, dass das Gleiche gilt für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\mathbb Q$ keine \definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{} über $\mathbb Z$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{A=K[X,Y]}{.} Finde eine $K$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{} von $A$, die nicht endlich erzeugt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{F,G \in K[X_1, \ldots, X_n]}{} Polynome und
\mathl{K \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Diskutiere, wie sich die verschiedenen Äquivalenzbegriffe aus der siebten Vorlesung für $F$ und $G$ (und für $V(F)$ und $V(G)$) unter dem Körperwechsel verhalten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme zum Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I }
{ =} { (10,6x^2+8,4x^3-12) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Z[x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von $I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass sich jedes Element aus $R$ als ein Produkt von \definitionsverweis {irreduziblen Elementen}{}{} schreiben lässt.

}
{} {}