Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe, warum der Ring
\mathdisp {\Z[X,Y,Z,W]/(XY-ZW, 5X^8-YZ^3+2WXY)} { }
\definitionsverweis {noethersch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_2
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_3
}
{ \subseteq} {\ldots
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine aufsteigende Kette von
\definitionsverweis {Idealen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathdisp {K[X_n, \, n \in \N]} { }
der Polynomring über $K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen \definitionsverweis {Reduktion}{}{} ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von
\definitionsverweis {affin-algebraischen Mengen}{}{} in
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} und von
\definitionsverweis {Idealen}{}{} in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
a) Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette
\mathdisp {V_0 \subseteq V_1 \subseteq V_2 \subseteq \ldots} { }
von affin-algebraischen Mengen stationär.
b) Für einen unendlichen Körper und
\mathl{n \geq 1}{} wird nicht jede aufsteigende Kette
\mathdisp {V_0 \subseteq V_1 \subseteq V_2 \subseteq \ldots} { }
von affin-algebraischen Mengen stationär.
c) Für
\zusatzklammer {einen beliebigen Körper und} {} {}
\mathl{n \geq 1}{} wird nicht jede absteigende Idealkette
\mathdisp {{\mathfrak a}_0 \supseteq {\mathfrak a}_1 \supseteq {\mathfrak a}_2 \supseteq \ldots} { }
stationär.
d) Für einen unendlichen Körper und
\mathl{n \geq 1}{} gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { R/{\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.
}
{Zeige, dass das Gleiche gilt für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\mathbb Q$ keine \definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{} über $\mathbb Z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mathl{A=K[X,Y]}{.} Finde eine
$K$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{}
von $A$, die nicht endlich erzeugt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{F,G \in K[X_1, \ldots, X_n]}{} Polynome und
\mathl{K \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Diskutiere, wie sich die verschiedenen Äquivalenzbegriffe aus der siebten Vorlesung für $F$ und $G$ (und für $V(F)$ und $V(G)$) unter dem Körperwechsel verhalten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zum Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I
}
{ =} { (10,6x^2+8,4x^3-12)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Z[x]$ die im Beweis zum
Hilbertschen Basissatz
konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von $I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass sich jedes Element aus $R$ als ein Produkt von \definitionsverweis {irreduziblen Elementen}{}{} schreiben lässt.
}
{} {}
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