Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 9/latex

\setcounter{section}{9}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe, warum der Ring
\mathdisp {\Z[X,Y,Z,W]/(XY-ZW, 5X^8-YZ^3+2WXY)} { }
\definitionsverweis {noethersch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_1 }
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_2 }
{ \subseteq} { {\mathfrak a}_3 }
{ \subseteq} {\ldots }
{ } { }
} {}{}{} eine aufsteigende Kette von \definitionsverweis {Idealen}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathdisp {K[X_n, \, n \in \N]} { }
der Polynomring über $K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen \definitionsverweis {Reduktion}{}{} ein Körper ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten auf- und absteigende Ketten von \definitionsverweis {affin-alge\-braischen Mengen}{}{} in
\mathl{{ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }}{} und von \definitionsverweis {Idealen}{}{} in
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvierabc{Für einen endlichen Körper wird jede aufsteigende Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_0 }
{ \subseteq} { V_1 }
{ \subseteq} { V_2 }
{ \subseteq} { \ldots }
{ } { }
} {}{}{} von affin-algebraischen Mengen stationär. }{Für einen unendlichen Körper und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wird nicht jede aufsteigende Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_0 }
{ \subseteq} { V_1 }
{ \subseteq} { V_2 }
{ \subseteq} { \ldots }
{ } { }
} {}{}{} von affin-algebraischen Mengen stationär. }{Für \zusatzklammer {einen beliebigen Körper und} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wird nicht jede absteigende Idealkette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}_0 }
{ \supseteq} { {\mathfrak a}_1 }
{ \supseteq} { {\mathfrak a}_2 }
{ \supseteq} { \ldots }
{ } { }
} {}{}{} stationär. }{Für einen unendlichen Körper und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es echt absteigende Ketten von affin-algebraischen Mengen beliebiger Länge. }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} mit dem \definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S }
{ =} { R/{\mathfrak a} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.

}
{Zeige, dass das Gleiche gilt für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale.} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass $\mathbb Q$ keine \definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{} über $\mathbb Z$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A }
{ = }{ K[X,Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Finde eine $K$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{} von $A$, die nicht endlich erzeugt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F,G }
{ \in }{ K[X_1 , \ldots , X_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {Polynome}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Diskutiere, wie sich die verschiedenen Äquivalenzbegriffe für $F$ und $G$ (und für $V(F)$ und $V(G)$) unter dem Körperwechsel verhalten.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme zum Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I }
{ =} { (10,6x^2+8,4x^3-12) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\Z[x]$ die im Beweis zum Hilbertschen Basissatz konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von $I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass sich jedes Element aus $R$ als ein Produkt von \definitionsverweis {irreduziblen Elementen}{}{} schreiben lässt.

}
{} {}