Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2012)/Arbeitsblatt 10
- Aufwärmaufgaben
Es seien und Körper, sei eine endliche Körpererweiterung und sei , , ein Zwischenring. Zeige, dass dann ebenfalls ein Körper ist.
Es sei ein kommutativer Ring und ein - Modul. Dann ist genau dann noethersch, wenn jede aufsteigende Kette
von - Untermoduln stationär wird.
Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der „dual“ zum Begriff des noetherschen Moduls ist.
Es sei ein kommutativer Ring. Ein -Modul heißt artinsch, wenn jede absteigende Kette
von -Untermoduln stationär wird.
Ein kommutativer Ring heißt artinsch, wenn er als -Modul artinsch ist.
Es sei ein artinscher Integritätsbereich. Man zeige, dass ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.
Es sei ein Radikal in einem kommutativen Ring. Zeige, dass der Durchschnitt von Primidealen ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass der Restklassenring
eine endliche -Algebra ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Es seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass endlich über und endlich über ist. Zeige, dass dann auch endlich über ist.
Aufgabe (5 Punkte)
Sei ein kommutativer Ring und sei
eine kurze exakte Sequenz von -Moduln. Man zeige, dass genau dann artinsch ist, wenn und artinsch sind.
Aufgabe (4 Punkte)
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