Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere im $\R^2$ die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen.
\aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {
\mathl{x^2-y^2 -1 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2+xy+y^2 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2+y^2 +1 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2+y^2 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2+y^3 = 0}{,}
} } {\itemfuenf {
\mathl{x^3-y^5 = 0}{,}
}{
\mathl{x^2-x^3 = 0}{,}
}{
\mathl{x^3+y^3 = 1}{,}
}{
\mathl{x^4+y^4 = 1}{,}
}{
\mathl{-5+3x+4x^2+x^3-y^2 = 1}{.}
} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne den Durchschnitt der Kurven aus
Aufgabe 1.1
mit den folgenden Geraden.
\aufzaehlungsieben{
\mathl{x=0}{,}
}{
\mathl{y=0}{,}
}{
\mathl{x=1}{,}
}{
\mathl{y=-2}{,}
}{
\mathl{x= y}{,}
}{
\mathl{x=-y}{,}
}{
\mathl{2x-3y+4=0}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Finde eine ganzzahlige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y)
}
{ \in }{ \Z \times \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Zeige, dass
\mathdisp {\left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 129 }{ 100 } } \right)} { }
eine Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde auf der
\definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(X^3-Y^3+4X^2-2XY+Y+3)
}
{ \subset} { {\mathbb C}^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
einen Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der durch
\maabbeledisp {} { K } { K^2
} { t } { \left( t^2 , \, t^3 \right)
} {,}
definierten Kurve heißt \stichwort {Neilsche Parabel} {.} Zeige, dass ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y)
}
{ \in }{ K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^3
}
{ = }{ y^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
unter der polynomialen Abbildung
\maabbeledisp {} { \R } { \R^2
} { t } { \left( t^3-1 , \, t^2-1 \right)
} {.}
Bestimme ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Kurve
\maabbeledisp {} {\R} {\R^2
} { t } {(t^2-1,t^3-t)
} {.}
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass die
\definitionsverweis {Bildpunkte}{}{}
\mathl{(x,y)}{} der Kurve die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2
}
{ =} { x^2+x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}{Zeige, dass jeder Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y)
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y^2
}
{ = }{ x^2+x^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Bild der Kurve gehört.
}{Zeige, dass es genau zwei Punkte
\mathkor {} {t_1} {und} {t_2} {}
mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere den Zusammenhang zwischen \definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurven}{}{} und dem Satz über implizite Funktionen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/( 7 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme alle Punkte in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K^2
}
{ = }{ K \times K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2Y + 2Y^3+3Y^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Finde eine Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die die Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { V(X^3+Y^3 +1)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in genau einem Punkt schneidet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C
}
{ =} { V { \left( Y^2-X^3 \right) }
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
jede Gerade durch den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ (1,1)
}
{ \in }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in mindestens einem weiteren Punkt trifft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises
\mathl{V(x^2+y^2-1)}{} mit der Neilschen Parabel
\mathl{V( y^2-x^3)}{} gibt und bestimme numerisch die reelle $x$-Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler $\leq 0,1$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei
\maabbeledisp {} { K } { K^2
} { t } { (P(t),Q(t))
} {,}
eine durch zwei Polynome
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(t),Q(t)
}
{ \in }{ K[t]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Abbildung. Es sei $B$ das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
dieser Abbildung und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ K^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Gerade. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist oder dass der Durchschnitt
\mathl{B \cap G}{} endlich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Multipliziere in
\mathl{\Z[x,y,z]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Multipliziere in
\mathl{\Z/( 5 ) [x,y]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \text{ und } x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass dann auch der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $R[X]$ integer ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:
\aufzaehlungzwei { $K$ ist
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.}
} {Jedes nicht-konstante Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zerfällt in Linearfaktoren.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.}
Bestimme in
\mathl{K[X]}{} die
\definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Betrachte Gleichungen der Form
\mathdisp {y^2=G(x) \text{ mit } G(x) = x^3+ax^2+bx+c} { }
über $\R$. Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \{1,-1,0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Führe in
\mathl{\Z/( 7 ) [X]}{} folgende Polynomdivision aus.
\mathdisp {X^4+5X^2+ 3 \, \text{ durch } \, 2X^2+X+6} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{{\mathbb F}_{ 3 } [X]}{} alle normierten \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die Körper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ \Z/( 2 )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mathl{\Z/( 5 )}{} und
\mathl{\Z/(11)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
unter der polynomialen Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}^2
} { t } { \left( t^3-t^2+4t+3 , \, -t^2+5t-1 \right)
} {.}
Bestimme ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {f} {\R} {S^1 \subseteq \R^2
} {,}
die einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den eindeutigen Schnittpunkt
\mathl{\neq (0,-1)}{} der durch die beiden Punkte
\mathkor {} {(t,1)} {und} {(0,-1)} {}
gegebenen Geraden
\mathl{G_t}{} mit dem
\definitionsverweis {Einheitskreis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass $f$
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist. Ist $f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
ist $f$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{?}
}
{} {}
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