Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 1/latex

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\setcounter{section}{1}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Skizziere im $\R^2$ die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen. \aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {
\mathl{x^2-y^2 -1 = 0}{,} }{
\mathl{x^2+xy+y^2 = 0}{,} }{
\mathl{x^2+y^2 +1 = 0}{,} }{
\mathl{x^2+y^2 = 0}{,} }{
\mathl{x^2+y^3 = 0}{,} } } {\itemfuenf {
\mathl{x^3-y^5 = 0}{,} }{
\mathl{x^2-x^3 = 0}{,} }{
\mathl{x^3+y^3 = 1}{,} }{
\mathl{x^4+y^4 = 1}{,} }{
\mathl{-5+3x+4x^2+x^3-y^2 = 1}{.} } }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne den Durchschnitt der Kurven aus Aufgabe 1.1 mit den folgenden Geraden. \aufzaehlungsieben{
\mathl{x=0}{,} }{
\mathl{y=0}{,} }{
\mathl{x=1}{,} }{
\mathl{y=-2}{,} }{
\mathl{x=y}{,} }{
\mathl{x=-y}{,} }{
\mathl{2x-3y+4=0}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungzwei {Finde eine ganzzahlige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y) }
{ \in }{ \Z \times \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Zeige, dass
\mathdisp {\left( { \frac{ 383 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 129 }{ 100 } } \right)} { }
eine Lösung für die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2-y^3+2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde auf der \definitionsverweis {ebenen algebraischen Kurve}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V(X^3-Y^3+4X^2-2XY+Y+3) }
{ \subset} { {\mathbb C}^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} einen Punkt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Das \definitionsverweis {Bild}{}{} der durch \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {\left( t^2 , \, t^3 \right) } {,} definierten Kurve heißt \stichwort {Neilsche Parabel} {.} Zeige, dass ein Punkt
\mathl{(x,y) \in \R^2}{} genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung
\mathl{x^3=y^2}{} erfüllt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{C \subseteq \R^2}{} das \definitionsverweis {Bild}{}{} unter der polynomialen Abbildung \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} { \left( t^3-1 , \, t^2-1 \right) } {.} Bestimme ein Polynom
\mathl{F\neq 0}{} in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Kurve \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {(t^2-1,t^3-t) } {.}

a) Zeige, dass die \definitionsverweis {Bildpunkte}{}{}
\mathl{(x,y)}{} der Kurve die Gleichung
\mathdisp {y^2=x^2+x^3} { }
erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt $(x,y) \in \R^2$ mit
\mathl{y^2=x^2+x^3}{} zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte \mathkor {} {t_1} {und} {t_2} {} mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere den Zusammenhang zwischen ebenen algebraischen Kurven und dem Satz über implizite Funktionen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei
\mathl{K= \Z/(7)}{.} Bestimme alle Punkte in
\mathl{K^2=K \times K}{,} die auf der Kurve liegen, die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2Y + 2Y^3+3Y^2 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Wie viele Lösungen gibt es?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Finde eine Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} die die Kurve
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C }
{ =} { V(X^3+Y^3 +1) }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in genau einem Punkt schneidet.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ C }
{ =} {V { \left( Y^2-X^3 \right) } }
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{{\mathbb C}} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} jede Gerade durch den Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ (1,1) }
{ \in }{C }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in mindestens einem weiteren Punkt trifft.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Begründe analytisch, dass es einen reellen Schnittpunkt des Einheitskreises
\mathl{V(x^2+y^2-1)}{} mit der Neilschen Parabel
\mathl{V( y^2-x^3)}{} gibt und bestimme numerisch die reelle $x$-Koordinate eines solchen Schnittpunktes mit einem Fehler $\leq 0,1$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei \maabbeledisp {} {K} {K^2 } {t} { (P(t),Q(t)) } {,} eine durch zwei Polynome
\mathl{P(t),Q(t) \in K[t]}{} gegebene Abbildung. Es sei $B$ das \definitionsverweis {Bild}{}{} dieser Abbildung und es sei
\mathl{G \subseteq K^2}{} eine Gerade. Zeige, dass
\mathl{B \subseteq G}{} ist oder dass der Durchschnitt
\mathl{B \cap G}{} endlich ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Multipliziere in
\mathl{\Z[x,y,z]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^5+3x^2y^2-xyz^3 \text{ und } 2x^3yz+z^2+5xy^2z-x^2y} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Multipliziere in
\mathl{\Z/(5) [x,y]}{} die beiden Polynome
\mathdisp {x^4+2x^2y^2-xy^3+2y^3 \text{ und } x^4y+4x^2y+3xy^2-x^2y^2+2y^2} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass dann auch der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} $R[X]$ integer ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} und $R[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $R$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $R[X]$ genau die Einheiten von $R$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind: \aufzaehlungzwei {$K$ ist \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.} } {Jedes nicht-konstante Polynom
\mathl{F\in K[X]}{} zerfällt in Linearfaktoren. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{.} Bestimme in
\mathl{K[X]}{} die \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Betrachte Gleichungen der Form
\mathdisp {y^2=G(x) \text{ mit } G(x) = x^3+ax^2+bx+c} { }
über $\R$. Skizziere die verschiedenen Lösungsmengen für die Koeffizienten
\mathl{a,b,c \in \{1,-1,0\}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Führe in
\mathl{\Z/(7) [X]}{} folgende Polynomdivision aus.
\mathdisp {X^4+5X^2+ 3 \, \text{ durch } \, 2X^2+X+6} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Bestimme im \definitionsverweis {Polynomring}{}{}
\mathl{\Z/(3) [X]}{} alle \definitionsverweis {irreduziblen Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $4$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für die Körper
\mathl{K= \Z/(2)}{,}
\mathl{\Z/(5)}{} und
\mathl{\Z/(11)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{C \subseteq {\mathbb C}^2}{} das \definitionsverweis {Bild}{}{} unter der polynomialen Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}^2 } {t} { \left( t^3-t^2+4t+3 , \, -t^2+5t-1 \right) } {.} Bestimme ein Polynom
\mathl{F\neq 0}{} in zwei Variablen derart, dass $C$ auf dem Nullstellengebilde zu $F$ liegt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {f} {\R} {S^1 \subseteq \R^2 } {,} die einem Punkt
\mathl{t \in \R}{} den eindeutigen Schnittpunkt
\mathl{\neq (0,-1)}{} der durch die beiden Punkte \mathkor {} {(t,1)} {und} {(0,-1)} {} gegebenen Geraden
\mathl{G_t}{} mit dem \definitionsverweis {Einheitskreis}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1 }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zuordnet. Zeige, dass diese Abbildung wohldefiniert ist und bestimme die funktionalen Ausdrücke, die diese Abbildung beschreiben. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist. Ist $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{,} ist $f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{?}

}
{} {}


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