Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Ein Geldfälscher stellt $3$- und $7$-Euro-Scheine her. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht \zusatzklammer {exakt} {} {} begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann? }{Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann? }{Beschreibe die Menge $M$ der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen begleichen kann. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ein Geldfälscher stellt $4$-, $9$- und $11$-Euro-Scheine her. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass es nur endlich viele Beträge gibt, die er nicht \zusatzklammer {exakt} {} {} begleichen kann. Was ist der höchste Betrag, den er nicht begleichen kann? }{Was ist der kleinste Betrag, den er auf zwei verschiedene Weisen begleichen kann? }{Beschreibe explizit die Menge $M$ der vollen Eurobeträge, die er mit seinen Scheinen begleichen kann. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ein Geldfälscher stellt $7$-, $11$-, $13$- und $37$-Euro-Scheine her. Wie viele volle Eurobeträge kann er mit seinen Scheinen nicht bezahlen, und was ist der größte Betrag, den er nicht begleichen kann? Bestimme die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} und die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} des zugehörigen numerischen Monoids.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme für das
\definitionsverweis {numerische Monoid}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das durch $4,7$ und $17$ erzeugt wird, die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,}
die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{,}
die
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
und den
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch $5,7$ und $9$ erzeugt wird, die \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die \definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den \definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,}
das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt sei. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{}
maximal gleich der
\definitionsverweis {Multiplizität
}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein durch
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Zahlen erzeugtes
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,}
bei dem die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{}
gleich der
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
ist. Zeige, dass dann der maximale Erzeuger aus einem minimalen Erzeugendensystem größer oder gleich der
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines \definitionsverweis {numerischen Monoids}{}{} $M$ mit \definitionsverweis {Multiplizität}{}{} $3$ und \definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{} $3$ an, bei dem die \definitionsverweis {Führungszahl}{}{} prim ist und nicht zum minimalen \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} gehört.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,}
das von
\definitionsverweis {teilerfremden}{}{}
Elementen erzeugt werde. Es sei vorausgesetzt, dass die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
von $M$ mit der
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
von $M$ übereinstimmt. Bestimme ein minimales Erzeugendensystem und die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{}
von $M$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Neilsche Parabel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { V(Y^2-X^3)
}
{ \subseteq} { {\mathbb A}^{2}_{ {\mathbb C} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und den Punkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(1,1)
}
{ \in} { C
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man das maximale Ideal zu $P$, also das Ideal
\mathl{(X-1,Y-1)}{} im Koordinatenring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ {\mathbb C} [X,Y]/ (Y^2-X^3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
nicht als
\definitionsverweis {Radikal}{}{}
zu einem einzigen Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschreiben kann.
}
{} {}
Die vorstehende Aufgabe zeigt, dass jede Kurve $D$, die die Neilsche Parabel im Punkt
\mathl{(1,1)}{} trifft, sie noch in mindestens einem weiteren Punkt trifft. Dies verallgemeinert auch
Aufgabe 1.11.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein numerisches Monoid. Bestimme die \definitionsverweis {Filter}{}{} in $M$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{}
und $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ K[M]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[M]_f
}
{ = }{ K[X]_X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,}
$K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{K[M]}{} der zugehörige
\definitionsverweis {Monoidring}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[M]
}
{ \cong }{ K[\N]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {injektiven}{}{} \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} \maabb {} { M } { N } {} zwischen kommutativen \definitionsverweis {Monoiden}{}{} derart an, dass die zugehörige \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{}
und sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass durch die
\definitionsverweis {Diagonalabbildung}{}{}
\maabbeledisp {\triangle} { M } { M \times M
} { m } { (m,m)
} {,}
ein
\definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{}
gegeben ist.
}{Beschreibe den zugehörigen
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {K[M] } { K[M \times M] \cong K[M] \otimes K[M]
} {.}
}{Beschreibe die zugehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabbdisp {} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) } \times K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) }
} {.}
Zeige insbesondere, dass dadurch
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( K[M] \right) }}{} selbst zu einem kommutativen Monoid wird.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Spezialisiere
Aufgabe 18.15
auf die Monoide
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \N, \Z, \N^r, \Z^r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {kommutatives Monoid}{}{,}
$K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( M \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixierter Punkt.
\aufzaehlungdreiabc{Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\Psi_P} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( M \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( M \right) }
} { Q} { Q \cdot P
} {,}
gibt.
}{Beschreibe den zugehörigen
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabb {} { K[M] } { K[M]
} {.}
}{Charakterisiere, für welche $P$ diese Abbildung
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $M$ und $N$ \definitionsverweis {kommutative Monoide}{}{,} sei \maabb {\varphi} { M } { N } {} ein \definitionsverweis {Monoidhomomorphismus}{}{} und sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi^*} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( N \right) } } { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( M \right) } } {} ebenfalls ein Monoidhomomorphismus ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c,d,r,s
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {natürliche Zahlen}{}{.}
Wir betrachten die
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbeledisp {} { [0,1] } { \R^2
} { t } { (t^r,t^s)
} {.}
Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zum
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y)
}
{ =} { (x^ay^b ,x^c y^d)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,}
das durch zwei
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ > }{ e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erzeugt werde. Bestimme die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,}
die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{,}
die
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
und den
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{}
von $M$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für das numerische Monoid $M$, das durch
\mathl{3,7,9}{} und $11$ erzeugt wird, die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,} die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{,} die
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{} und den
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Klassifiziere sämtliche
\definitionsverweis {numerische Monoide}{}{}
$M$
\zusatzklammer {mit teilerfremden Erzeugern} {} {} mit
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(M)
}
{ \leq }{ 6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man gebe jeweils die
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{,}
die
\definitionsverweis {Multiplizität}{}{}
und den
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{}
und $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Definiere
\mathdisp {M_+= M \cap \N_+} { }
und
\mathdisp {n M_+ = { \left\{ m \in M \mid \text{es gibt eine Darstellung } m = m_1 + \cdots + m_n \text{ mit } m_i \in M_+ \right\} }} { . }
Zeige, dass $nM_+$ \anfuehrung{Ideale}{} in $M$ sind, dass zu $M_+$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ in $K[M]$ gehört, und dass das zu $nM_+$ gehörige Ideal gleich ${\mathfrak m}^n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien $M,N$
\definitionsverweis {numerische Monoide}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die zugehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.
}
{Es ist dabei hilfreich,
Satz 18.10
zu verwenden.} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $M,N$
\definitionsverweis {numerische Monoide}{}{.}
Für welche der numerischen Invarianten $\nu$
\zusatzklammer {\definitionsverweis {Multiplizität}{}{,}
\definitionsverweis {Führungszahl}{}{,}
\definitionsverweis {Singularitätsgrad}{}{,}
\definitionsverweis {Einbettungsdimension}{}{}} {} {}
folgt aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \subseteq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(M)
}
{ \geq }{ \nu(N)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{?}
}
{(Beweis oder Gegenbeispiel)} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ ein \definitionsverweis {numerisches Monoid}{}{,} das nicht isomorph zu $\N$ sei, und sei $K$ ein Körper. Zeige, dass es im Monoidring $K[M]$ \definitionsverweis {irreduzible Elemente}{}{} gibt, die nicht \definitionsverweis {prim}{}{} sind. Man gebe Elemente aus $K[M]$ mit zwei wesentlich verschiedenen Zerlegungen in irreduzible Elemente an.
}
{} {}
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