Monoid/Diagonale und Komultiplikation/Aufgabe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und sei ${}K$ ein Körper.

1. Zeige, dass durch die Diagonalabbildung

   $\triangle \colon M\longrightarrow M\times M,\,m\longmapsto (m,m),$

   ein Monoidhomomorphismus gegeben ist.

2. Beschreibe den zugehörigen ${}K$-Algebrahomomorphismus

   $K[M]\longrightarrow K[M\times M]\cong K[M]\otimes K[M].$

3. Beschreibe die zugehörige Spektrumsabbildung

   $K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\times K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}.$

   Zeige insbesondere, dass dadurch ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ selbst zu einem kommutativen Monoid wird.

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