Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 19

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme Idealerzeuger für die durch

gegebene monomiale Kurve.


Aufgabe

Bestimme Idealerzeuger für die durch

gegebene monomiale Kurve.


In den folgenden Aufgaben besprechen wir eine algebraische Realisierung des Möbius-Bandes, die auf dem Konzept eines Geradenbündels beruht.


Ein Geradenbündel auf einer Varietät (über einem Körper ) ist eine Varietät zusammen mit einem Morphismus und einer offenen affinen Überdeckung

derart, dass es Isomorphismen

über derart gibt, dass zu die Übergangsabbildungen

linear sind, also auf der Ringebene durch mit gegeben sind.


Zu jeder Varietät gibt es das sogenannte triviale Geradenbündel . Die Definition besagt, dass „lokal“ jedes Geradenbündel trivial ist, obwohl es „global“ keineswegs trivial sein muss.

Aufgabe

Es sei eine Varietät und ein Geradenbündel über . Zeige, dass zu jedem Punkt die Faser isomorph zu einer affinen Geraden ist.


Aufgabe

Es sei eine Varietät und ein Geradenbündel über . Zeige, dass es zu jedem Punkt eine wohldefinierte -Vektorraumstruktur auf der Faser gibt.


Aufgrund der vorstehenden Aussage besitzt jedes Geradenbündel einen Nullschnitt, der über jedem Basispunkt aus dem Nullpunkt in der Faser besteht.

Aufgabe

Es sei eine reelle Varietät, das triviale Geradenbündel und der Nullschnitt. Zeige, dass in der reellen Topologie nicht zusammenhängend ist.


Aufgabe

Es sei

und

zusammen mit der natürlichen Abbildung . Zeige, dass das triviale Geradenbündel ist. Ist

ein Geradenbündel?


Mobius strip illus.svg

Aufgabe *

Es sei ein Körper der Charakteristik . Wir betrachten den kommutativen Ring

und die -Algebra

Es sei und mit der zugehörigen Spektrumsabbildung

  1. Zeige, dass und eine offene affine Überdeckung von ist.
  2. Zeige

    und

  3. Zeige, dass ein Geradenbündel über ist.


Aufgabe *

Wir betrachten die Situation aus Aufgabe 19.7 zu . Es sei

die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises. Zeige, dass das Bild von

in landet, dass gilt, und dass das Bild von niemals den Nullschnitt trifft.


Aufgabe

Wir betrachten die Situation aus Aufgabe 19.7 zu . Zeige, dass ohne den Nullschnitt, aufgefasst mit der metrischen Topologie, zusammenhängend ist. Folgere, dass dieses Geradenbündel nicht trivial ist.


Aufgabe

Es sei

und

zusammen mit der natürlichen Abbildung . Zeige, dass diese Abbildung die Eigenschaft aus Aufgabe 19.3 erfüllt, aber nicht die Eigenschaft aus Aufgabe 19.4.


Aufgabe *

Es sei ein Körper. Zeige, dass in die drei Ideale

und

übereinstimmen.


Aufgabe *

Zeige, dass durch

ein Morphismus des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt aus zwei Punkten besteht.


Aufgabe

Es sei

der reelle Einheitskreis. Zeige, dass zu jedem die Abbildung

ein algebraischer Morphismus ist.

Tipp: Betrachte die Abbildung auf dem komplexen Einheitskreis.

Aufgabe

Sei eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung ganz ist.


Aufgabe *

Seien und Integritätsbereiche und sei eine ganze Ringerweiterung. Es sei ein Element, das in eine Einheit ist. Zeige, dass dann schon in eine Einheit ist.


Aufgabe

Sei eine ganze Ringerweiterung und sei . Zeige: Wenn , aufgefasst in , eine Einheit ist, dann ist eine Einheit in .


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer ganzen Ringerweiterung , wo es einen Nichtnullteiler gibt, der ein Nullteiler in wird.


Aufgabe

Es sei

und

Begründe, dass die Ringerweiterung

ganz ist und finde eine Ganzheitsgleichung für und für (kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen).


Aufgabe

Es sei eine Ringerweiterung zwischen endlichen kommutativen Ringen und . Zeige, dass eine ganze Ringerweiterung vorliegt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und

eine (als Algebra) endlich erzeugte -Algebra, die ganz über sei. Zeige, dass ein endlich erzeugter -Modul ist.


Aufgabe

Es sei

ein ganzer Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und ein weiterer Ringhomomorphismus. Zeige, dass auch

ganz ist.


Aufgabe

  1. Es sei ein Integritätsbereich. Zeige, dass ganz-abgeschlossen im Polynomring ist.
  2. Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring , der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei das durch erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass ganz über und ganz über ist. Zeige, dass dann auch ganz über ist.

(Vergleiche Aufgabe 10.26).


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