Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A_D$ ein \definitionsverweis {quadratischer Zahlbereich}{}{} und sei ${\mathfrak a}$ ein Ideal $\neq 0$ in $A_D$. Zeige, dass das konjugierte Ideal $\overline{ {\mathfrak a} }$ in der \definitionsverweis {Klassengruppe}{}{} das Inverse zu ${\mathfrak a}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{} und es seien \mathkor {} {{\mathfrak f}} {und} {{\mathfrak g}} {} \definitionsverweis {gebrochene Ideale}{}{.} Zeige, dass die beiden gebrochenen Ideale genau dann die gleiche Klasse in der \definitionsverweis {Divisorenklassengruppe}{}{} definieren, wenn sie als $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Dedekindbereich}{}{.}
Zeige, dass ein
\definitionsverweis {exakter Komplex}{}{}
\mathdisp {1 \longrightarrow R^{\times} \longrightarrow Q(R)^{\times} \longrightarrow \operatorname{Div} { \left( R \right) } \longrightarrow \operatorname{DKG} { \left( R \right) } \longrightarrow 0} { }
vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere
Lemma 14.4
für die folgenden Fälle:
\aufzaehlungvier{$S$ wird durch ein Element erzeugt.
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ R \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
}{ $R_S$ ist faktoriell.
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ = }{ R \setminus {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$d$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Norm}{}{}
einen natürlichen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {N} { \operatorname{DKG} { \left( R \right) } } { \Q^{\times}_+ / T
} {}
definiert, wobei $T$ die Menge der Beträge von Normen von Elementen $\neq 0$ aus $R$ bezeichnet. Zeige ferner, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{ \left( \Q^{\times}_+ \right) }^d
}
{ \subseteq }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $\Z$ in der
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{\Q[\sqrt{-5}, \sqrt{2}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungfuenf{Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{ { \frac{ \sqrt{2} + \sqrt{-10} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu $S$ gehört.
}{Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sqrt{-5}
}
{ \in }{ \Z[z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sqrt{2}
}
{ \notin }{ \Z[z]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Bestimme eine Ganzheitsgleichung für $z$ über $\Z[\sqrt{-5} ]$.
}{Bestimme eine Ganzheitsgleichung für $z$ über $\Z$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Ringerweiterungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq} { \Z[ \sqrt{-5}]
}
{ =} {R
}
{ \subseteq} { \Z[ \sqrt{-5}, { \mathrm i} ]
}
{ \subseteq} {T
}
}
{}{}{,}
wobei $T$ den
\definitionsverweis {ganzen Abschluss}{}{}
von $\Z$ in $\Q [ \sqrt{-5}, { \mathrm i} ]$ bezeichnet. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Erweiterungsideal}{}{}
zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ =} { (2, 1 + \sqrt{-5})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $T$ ein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erkläre \anfuehrung{geometrisch}{,} warum die
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
der Form
\mathl{(X-a,Y-b)}{} des Ringes
\mathl{\R[X,Y]/(X^2+Y^2-1)}{} keine
\definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ \R[X,Y]/ { \left( X^2+Y^2-1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass alle
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
von $R$ der Form
\mathl{(X-a,Y-b)}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die gleiche
\definitionsverweis {Divisorklasse}{}{}
festlegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbeledisp {} { K [X,Y]/(X^2+Y^2-1) } { K[U,V]/(U^2+V^2-1) } {(X,Y)} { (U^2-V^2,2UV) } {,} über jedem \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ \definitionsverweis {ganz}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ \R [X,Y] /(X^2+Y^2-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}
}
{ = }{ (X,Y-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aus
Beispiel 14.7.
Zeige, dass der Ring
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R_{\mathbb C}
}
{ = }{ {\mathbb C} [X,Y] /(X^2+Y^2-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
ist und bestimme einen Erzeuger für das
\definitionsverweis {Erweiterungsideal}{}{}
\mathl{(X,Y-1) R_{\mathbb C}}{.}
}
{} {}