Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 14
- Aufgaben
Aufgabe
Es sei ein quadratischer Zahlbereich und sei ein Ideal in . Zeige, dass das konjugierte Ideal in der Klassengruppe das Inverse zu ist.
Aufgabe
Es sei ein Dedekindbereich und es seien und gebrochene Ideale. Zeige, dass die beiden gebrochenen Ideale genau dann die gleiche Klasse in der Divisorenklassengruppe definieren, wenn sie als - Moduln isomorph sind.
Aufgabe
Aufgabe
Interpretiere Lemma 14.4 für die folgenden Fälle:
- wird durch ein Element erzeugt.
- ist faktoriell.
- .
Aufgabe
Es sei ein Zahlbereich vom Grad . Zeige, dass die Norm einen natürlichen Gruppenhomomorphismus
definiert, wobei die Menge der Beträge von Normen von Elementen aus bezeichnet. Zeige ferner, dass gilt.
Aufgabe *
Es sei der ganze Abschluss von in der Körpererweiterung .
- Zeige, dass zu gehört.
- Zeige .
- Zeige .
- Bestimme eine Ganzheitsgleichung für über .
- Bestimme eine Ganzheitsgleichung für über .
Aufgabe *
Wir betrachten die Ringerweiterungen
wobei den ganzen Abschluss von in bezeichnet. Zeige, dass das Erweiterungsideal zu
in ein Hauptideal wird.
Aufgabe
Erkläre „geometrisch“, warum die Primideale der Form des Ringes keine Hauptideale sind.
Aufgabe
Es sei . Zeige, dass alle Primideale von der Form mit die gleiche Divisorklasse festlegen.
Aufgabe
Aufgabe
Wir betrachten den kommutativen Ring und das Ideal aus Beispiel 14.7. Zeige, dass der Ring ein Hauptidealbereich ist und bestimme einen Erzeuger für das Erweiterungsideal .
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