Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 14

Aufgaben

Aufgabe

Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal ${}\neq 0$ in ${}A_{D}$. Zeige, dass das konjugierte Ideal ${}{\overline {\mathfrak {a}}}$ in der Klassengruppe das Inverse zu ${}{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich und es seien ${}{\mathfrak {f}}$ und ${}{\mathfrak {g}}$ gebrochene Ideale. Zeige, dass die beiden gebrochenen Ideale genau dann die gleiche Klasse in der Divisorenklassengruppe definieren, wenn sie als ${}R$- Moduln isomorph sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich. Zeige, dass ein exakter Komplex

$1\longrightarrow R^{\times }\longrightarrow Q(R)^{\times }\longrightarrow \operatorname {Div} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow 0$

vorliegt.

Aufgabe

Interpretiere Lemma 14.4 für die folgenden Fälle:

1. ${}S$ wird durch ein Element erzeugt.
2. ${}S=R\setminus \{0\}$
3. ${}R_{S}$ ist faktoriell.
4. ${}S=R\setminus {\mathfrak {p}}$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich vom Grad ${}d$. Zeige, dass die Norm einen natürlichen Gruppenhomomorphismus

$N\colon \operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \mathbb {Q} _{+}^{\times }/T$

definiert, wobei ${}T$ die Menge der Beträge von Normen von Elementen ${}\neq 0$ aus ${}R$ bezeichnet. Zeige ferner, dass ${}{\left(\mathbb {Q} _{+}^{\times }\right)}^{d}\subseteq T$ gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}\mathbb {Z}$ in der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {-5}},{\sqrt {2}}]$.

1. Zeige, dass ${}z={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {-10}}}{2}}$ zu ${}S$ gehört.
2. Zeige ${}{\sqrt {-5}}\in \mathbb {Z} [z]$.
3. Zeige ${}{\sqrt {2}}\notin \mathbb {Z} [z]$.
4. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für ${}z$ über ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$.
5. Bestimme eine Ganzheitsgleichung für ${}z$ über ${}\mathbb {Z}$.

Aufgabe *

Wir betrachten die Ringerweiterungen

${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=R\subseteq \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}},{\mathrm {i} }]\subseteq T\,,$

wobei ${}T$ den ganzen Abschluss von ${}\mathbb {Z}$ in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}},{\mathrm {i} }]$ bezeichnet. Zeige, dass das Erweiterungsideal zu

${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,$

in ${}T$ ein Hauptideal wird.

Aufgabe

Erkläre „geometrisch“, warum die Primideale der Form ${}(X-a,Y-b)$ des Ringes ${}\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ keine Hauptideale sind.

Aufgabe

Es sei ${}R=\mathbb {R} [X,Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}$. Zeige, dass alle Primideale von ${}R$ der Form ${}(X-a,Y-b)$ mit ${}a,b\in \mathbb {R}$ die gleiche Divisorklasse festlegen.

Aufgabe

Zeige, dass der Ringhomomorphismus

$K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)\longrightarrow K[U,V]/(U^{2}+V^{2}-1),\,(X,Y)\longmapsto (U^{2}-V^{2},2UV),$

über jedem Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ ganz ist.

Aufgabe

Wir betrachten den kommutativen Ring ${}R=\mathbb {R} [X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ und das Ideal ${}{\mathfrak {p}}=(X,Y-1)$ aus Beispiel 14.7. Zeige, dass der Ring ${}R_{\mathbb {C} }={\mathbb {C} }[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)$ ein Hauptidealbereich ist und bestimme einen Erzeuger für das Erweiterungsideal ${}(X,Y-1)R_{\mathbb {C} }$.