Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 25/latex

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\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} ohne \definitionsverweis {reelle Einbettung}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Norm}{}{} eines jeden Elementes
\mathbed {x \in R} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,} positiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Anzahl der reellen und der \definitionsverweis {komplexen Einbettungen}{}{} von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ =} { \Q[X]/ { \left( X^3+2X-1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{ \Z[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein normiertes irreduzibles Polynom vom Grad $d$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{ \Q[X]/(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $P$ die Anzahl der \definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{} und die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen von $K$?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für $\Z$ für die \definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{} $1$ \zusatzklammer {und die Ganzheitsbasis $-1$} {} {} die \definitionsverweis {komplexe Ganzheitsmatrix}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{} $1, { \mathrm i}$ von $\Z[ { \mathrm i} ]$ die \definitionsverweis {komplexe Ganzheitsmatrix}{}{} und die \definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{.} Bestimme den Flächeninhalt der \definitionsverweis {Grundmasche}{}{} des zugehörigen \definitionsverweis {Gitters}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{} zur \definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{1,\sqrt[3]{2} , \sqrt[3]{4}}{} des kubischen \definitionsverweis {Zahlbereiches}{}{}
\mathl{\Z[ \sqrt[3]{2} ]}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{} zur \definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{\zeta,\zeta^2, \zeta^3, \zeta^4}{} des fünften \definitionsverweis {Kreisteilungsringes}{}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta }
{ = }{ e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ 5 } } } }
{ = }{ \cos { \frac{ 2 \pi }{ 5 } } + { \mathrm i} \sin { \frac{ 2 \pi }{ 5 } } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die primitive fünfte Einheitswurzel ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{} zur \definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{1, X,X^2, X^3}{} des achten \definitionsverweis {Kreisteilungsringes}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R_8 }
{ =} { \Z[X]/ { \left( X^4+1 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Verwende, dass die komplexen Einbettungen dadurch gegeben sind, dass $X$ auf eine primitive achte Einheitswurzel abgebildet wird, und dass diese die Gestalt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta }
{ = }{ \pm { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \pm { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subseteq }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$. Zeige, dass für die Anzahl $r$ der \definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {quadratischen Zahlbereiche}{}{} $R$ mit der Eigenschaft, dass der Flächeninhalt der \definitionsverweis {Grundmasche}{}{} des zugehörigen \definitionsverweis {Gitters}{}{} $\Gamma_R$ gleich $1$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Studiere den Beweis zu Satz 25.6 am Beispiel von $\Z[ { \mathrm i} ]$

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Überprüfe Satz 25.6 am Beispiel des kubischen \definitionsverweis {Zahlbereiches}{}{}
\mathl{\Z[ \sqrt[3]{2} ]}{} \zusatzklammer {siehe Lemma 16.5 zur Berechnung der Diskriminante und Aufgabe 25.6 zur Bestimmung der reellen Ganzheitsmatrix} {} {.}

}
{} {}