Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 25

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Aufgaben

Aufgabe *

Es sei ein Zahlbereich ohne reelle Einbettung. Zeige, dass die Norm eines jeden Elementes , , positiv ist.


Aufgabe

Bestimme die Anzahl der reellen und der komplexen Einbettungen von


Aufgabe

Es sei ein normiertes irreduzibles Polynom vom Grad und . Woran erkennt man am Graphen von die Anzahl der reellen Einbettungen und die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen von ?


Aufgabe

Bestimme für für die Ganzheitsbasis (und die Ganzheitsbasis ) die komplexe Ganzheitsmatrix und die reelle Ganzheitsmatrix.


Aufgabe

Bestimme für die Ganzheitsbasis von die komplexe Ganzheitsmatrix und die reelle Ganzheitsmatrix. Bestimme den Flächeninhalt der Grundmasche des zugehörigen Gitters.


Aufgabe *

Bestimme die reelle Ganzheitsmatrix zur Ganzheitsbasis des kubischen Zahlbereiches .


Aufgabe *

Bestimme die reelle Ganzheitsmatrix zur Ganzheitsbasis des fünften Kreisteilungsringes, wobei die primitive fünfte Einheitswurzel ist.


Aufgabe

Bestimme die reelle Ganzheitsmatrix zur Ganzheitsbasis des achten Kreisteilungsringes

Verwende, dass die komplexen Einbettungen dadurch gegeben sind, dass auf eine primitive achte Einheitswurzel abgebildet wird, und dass diese die Gestalt besitzen.


Aufgabe

Es sei eine Galoiserweiterung vom Grad . Zeige, dass für die Anzahl der reellen Einbettungen oder gilt.


Aufgabe

Bestimme sämtliche quadratischen Zahlbereiche mit der Eigenschaft, dass der Flächeninhalt der Grundmasche des zugehörigen Gitters gleich ist.


Aufgabe

Studiere den Beweis zu Satz 25.6 am Beispiel von


Aufgabe *

Überprüfe Satz 25.6 am Beispiel des kubischen Zahlbereiches (siehe Lemma 16.5 zur Berechnung der Diskriminante und Aufgabe 25.6 zur Bestimmung der reellen Ganzheitsmatrix).



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