Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass es ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft gibt, dass für alle
\definitionsverweis {maximale Ideale}{}{}
${\mathfrak m}$ gilt:
\mathdisp {f \in {\mathfrak m} \text{ genau dann, wenn } {\mathfrak a} \subseteq {\mathfrak m}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$. Zeige, dass es eine natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass das
\definitionsverweis {inverse Ideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak a}^{-1}}{} zu
\mathl{{\mathfrak a}^m}{} äquivalent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mathbed {f \in R} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit der Eigenschaft gibt, dass die
\definitionsverweis {Nenneraufnahme}{}{}
$R_f$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
eines
\definitionsverweis {Zahlbereiches}{}{.}
Zeige, dass jede
\definitionsverweis {offene Menge}{}{}
von $X$ von der Form $D(f)$ mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige mit Korollar 26.11, dass der Ring der Gaußschen Zahlen $\Z[ { \mathrm i} ]$ \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R=A_{13}}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=13}{.} Zeige mittels
Korollar 26.11,
dass $R$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R=A_{-43}}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{}
zu
\mathl{D=-43}{.} Zeige mittels
Korollar 26.11,
dass $R$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R=A_{-67}}{} der
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{} zu
\mathl{D=-67}{.} Zeige mittels
Korollar 26.11, dass $R$
\definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ quadratfrei und sei $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Ferner sei $D$ ein Vielfaches von $5$ und
\mathl{D = 2,3 \mod 4}{.} Zeige: $A_D$ ist nicht
\definitionsverweis {faktoriell}{}{.}
}
{} {Tipp: Siehe
Aufgabe 10.2.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der siebte \definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{} $R_7$ \definitionsverweis {faktoriell}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der achte
\definitionsverweis {Kreisteilungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_8
}
{ = }{ \Z[X]/(X^4+1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {faktoriell}{}{}
ist.
}
{} {Bemerkung: Der Betrag der Diskriminante von $R_8$ ist $256$.}