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Kurs:Analysis/Teil I/27/Klausur mit Lösungen/latex

Aus Wikiversity

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 6 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 2 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 7 }

\renewcommand{\aelf}{ 2 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 9 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{K}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Gruppe} {.}

}{Das \stichwort {Minimum} {} einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem angeordneten Körper $K$.

}{Ein \stichwort {Häufungspunkt} {} einer Folge in einem angeordneten Körper $K$.

}{Der \stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mathbed {b \in \R_+} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,} einer positiven reellen Zahl $x$.

}{Die $n$-fache \stichwort {stetige Differenzierbarkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {D} { {\mathbb K} } {} auf einer offenen Teilmenge
\mathl{D \subseteq {\mathbb K}}{.}

}{Das \stichwort {Oberintegral} {} einer nach oben beschränkten Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem beschränkten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element
\mathl{e \in G}{} und mit einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {G \times G} {G } {(g,h)} { g \circ h } {,} heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind. \aufzaehlungdrei{Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle
\mathl{f,g,h \in G}{} gilt
\mathdisp {(f\circ g)\circ h =f \circ (g \circ h)} { . }
}{Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle
\mathl{g\in G}{} gilt
\mathdisp {g \circ e = g = e \circ g} { . }
}{Zu jedem
\mathl{g \in G}{} gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein
\mathl{h \in G}{} mit
\mathdisp {h \circ g=g \circ h =e} { . }
} }{Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \geq }{t }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt Minimum von $M$. }{Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $K$. Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} unendlich viele Folgenglieder $x_n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n - x } }
{ \leq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. }{Der \stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \neq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \log_{ b } x }
{ \defeq} { { \frac{ \ln x }{ \ln b } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. }{Man sagt, dass $f$ $n$-mal stetig differenzierbar ist, wenn $f$ \definitionsverweis {n-mal differenzierbar}{}{} ist und die \definitionsverweis {n-te Ableitung}{}{} $f^{(n)}$ \definitionsverweis {stetig}{}{} ist. }{Das Oberintegral ist definiert als das \definitionsverweis {Infimum}{}{} von sämtlichen \definitionsverweis {Treppenintegralen}{}{} zu \definitionsverweis {oberen Treppenfunktionen}{}{} von $f$. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}{Das \stichwort {Weierstraß-Kriterium} {} für Funktionenfolgen.}{Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vom Grad $d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.}{Es sei $T$ eine Menge und sei \maabbdisp {g_k} {T} { {\mathbb K} } {} eine Funktionenfolge mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 0}^\infty \Vert {g_k} \Vert }
{ <} { \infty }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann konvergiert die Reihe
\mathl{\sum_{k=0}^\infty g_k}{} gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion \maabbdisp {f} {T} { {\mathbb K} } {.}}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offen und sei \maabbdisp {f} {D} {\R } {} eine Funktion, die in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{D }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(a) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: \anfuehrung{Das Prinzip \anfuehrung{Beweis durch Widerspruch}{} ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen}{.}

}
{Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe/Lösung }





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} Mengen und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B }
{ \subseteq }{ N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Teilmengen. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( A \times N \right) } \cap { \left( M \times B \right) } }
{ =} { A \times B }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es sei zunächst
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y) }
{ \in} { { \left( A \times N \right) } \cap { \left( M \times B \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y) }
{ \in} {{ \left( A \times N \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y) }
{ \in} {{ \left( M \times B \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies bedeutet einerseits
\mathl{x \in A}{} und andererseits
\mathl{y \in B}{.} Also ist
\mathl{(x,y) \in A \times B}{.}

Wenn umgekehrt
\mathl{(x,y) \in A \times B}{} gilt, so ist
\mathl{x \in A}{} und
\mathl{y \in B}{.} Wegen der Teilmengenbeziehungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B }
{ \subseteq }{N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y) }
{ \in} {{ \left( A \times N \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y) }
{ \in} {{ \left( M \times B \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und damit auch


\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x,y) }
{ \in} { { \left( A \times N \right) } \cap { \left( M \times B \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{

Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen $n$ Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis \zusatzklammer {die Ja-Antworten} {} {} in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab
\mathl{,5}{} nach oben gerundet wird.

a) Erstelle eine Formel mit Hilfe der \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} $\lfloor \, \, \rfloor$, die bei gegebenem $n$ aus $i$ die Prozentzahl
\mathl{p(i)}{} berechnet.

b) Für welche $n$ ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv?

c) Es sei
\mathl{n=99}{.} Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf?

d) Es sei
\mathl{n=101}{.} Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

e) Es sei
\mathl{n=102}{.} Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen?

}
{

a) Die ganze Prozentzahl wird bei $i$ Ja-Antworten von $n$ Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p(i) }
{ =} {\left\lfloor 100 \cdot { \frac{ i }{ n } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} berechnet.

b) Für
\mathl{n \leq 99}{} ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als $1$ ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens $1$ erhöht. Für
\mathl{n=100}{} ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für
\mathl{n \geq 101}{} ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als $1$ ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens $1$ erhöht.

c) Die Prozentzahl $50$ kommt nicht vor. Für
\mathl{i=49}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 49 }{ 99 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 9800 + 99 }{ 198 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 9899 }{ 198 } } \right \rfloor }
{ =} {49 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{198 \cdot 50 }
{ = }{9900 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} und für
\mathl{i=50}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 50 }{ 99 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10000 + 99 }{ 198 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10099 }{ 198 } } \right \rfloor }
{ =} {51 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{198 \cdot 51 }
{ = }{10098 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}

d) Die Prozentzahl $50$ kommt doppelt vor. Für
\mathl{i=50}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 50 }{ 101 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10000 + 101 }{ 202 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10101 }{ 202 } } \right \rfloor }
{ =} {50 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{202 \cdot 50 }
{ = }{10100 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} und für
\mathl{i=51}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 51 }{ 101 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10200 + 101 }{ 202 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 10301 }{ 202 } } \right \rfloor }
{ =} {50 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{202 \cdot 51 }
{ = }{10302 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}

e) Die Prozentzahl $25$ kommt doppelt vor. Für
\mathl{i=25}{} ist das Ergebnis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 25 }{ 102 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2500 + 51 }{ 102 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2551 }{ 102 } } \right \rfloor }
{ =} {25 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{102 \cdot 25 }
{ = }{2550 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} und für
\mathl{i=26}{} ist das Ergebnis ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\lfloor 100 \cdot { \frac{ 26 }{ 102 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2600 + 51 }{ 102 } } \right \rfloor }
{ =} {\left\lfloor { \frac{ 2651 }{ 102 } } \right \rfloor }
{ =} {25 }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{102 \cdot 26 }
{ = }{2652 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} Wegen der Symmetrie der Situation \zusatzklammer {bis auf die Rundung} {} {} kommt auch die Prozentzahl $75$ doppelt vor, für
\mathl{i=76,77}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+x^{-s} }
{ <} { { \frac{ 1 }{ 1-x^{-s} } } }
{ \leq} {1 + 2x^{-s} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^{-s} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ x^s } } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2^s } } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ <} {1 }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1-x^{-s} }
{ >} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir können also die Abschätzungen nachweisen, wenn wir mit
\mathl{1-x^{-s}}{} multiplizieren. Die linke Abschätzung folgt somit aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(1+x^{-s})(1-x^{-s}) }
{ =} {1- (x^{-s})^2 }
{ <} {1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für die rechte Abschätzung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq} { (1+2 x^{-s})(1-x^{-s}) }
{ =} {1+x^{-s} - 2 x^{-s}x^{-s} }
{ =} { 1+x^{-s} (1-2x^{-s}) }
{ } { }
} {}{}{} nachzuweisen. Aus der obigen Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^{-s} }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ -2 x^{-s} }
{ \geq }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1-2x^{-s} }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq} {1+x^{-s} (1-2x^{-s}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bestätigt.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(2+5 { \mathrm i}) z }
{ =} {(3-7 { \mathrm i}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über ${\mathbb C}$ und berechne den Betrag der Lösung.

}
{

Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{z }
{ =} {(3-7 { \mathrm i}) (2+5 { \mathrm i})^{-1} }
{ =} {(3-7 { \mathrm i}) { \frac{ (2-5 { \mathrm i}) }{ 29 } } }
{ =} { { \frac{ 6-35-14 { \mathrm i}-15 { \mathrm i} }{ 29 } } }
{ =} { { \frac{ -29-29 { \mathrm i} }{ 29 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {-1- { \mathrm i} }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Der Betrag ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { -1- { \mathrm i} } }
{ =} { \sqrt{ 2} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.

}
{

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k_0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle $a_k$ \definitionsverweis {positive}{}{} \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{} sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_k }
{ =} { \frac{a_k}{a_{k-1} } \cdot \frac{a_{k-1} }{a_{k-2} } { \cdots } \frac{a_1}{a_{0} } \cdot a_0 }
{ \leq} { a_0 \cdot q^k }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der \definitionsverweis {geometrischen Reihe}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+3)}
{

\aufzaehlungzwei {Skizziere die Graphen der Funktionen \maabbeledisp {f} {\R_+} { \R } {x} {x-1 } {,} und \maabbeledisp {g} {\R_+} { \R } {x} { { \frac{ 1 }{ x } } } {,} } {Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen. }

}
{

\aufzaehlungzwei {
\mathl{\,}{} } {Die Schnittbedingung führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ =} {x-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw. auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ =} {x^2 -x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Quadratisches Ergänzen führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ =} { { \left( x- { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2- { \frac{ 1 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x- { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2 }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { { \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die $x$-Koordinate des einzigen Schnittpunktes \zusatzklammer {die negative Wurzel führt zu einem Punkt außerhalb des Definitionsbereiches} {} {.} Der einzige Schnittpunkt ist
\mathdisp {\left( { \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } , \, { \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } \right)} { . }
}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion
\mathl{T\longrightarrow {\mathbb K}}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ {\mathbb K} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge ist.

}
{

Aufgrund von Satz 14.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) genügt es zu zeigen, dass der \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathl{\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \overline{ T } \setminus T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} existiert. Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $T$, die gegen $a$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergiert. Da diese Bildfolge in ${\mathbb K}$ ist, und ${\mathbb K}$ \definitionsverweis {vollständig}{}{} ist, genügt es zu zeigen, dass eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} vorliegt. \teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorgegeben. Wegen der \definitionsverweis {gleichmäßigen Stetigkeit}{}{} von $f$ gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) } }
{ \leq }{ \epsilon }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,x' }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, x' \right) } }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Wegen der Konvergenz der Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} handelt es sich nach Lemma 6.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) um eine Cauchy-Folge und daher gibt es ein $n_0$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x_n, x_m \right) } }
{ \leq }{ \delta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m }
{ \geq }{ n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Somit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x_n), f(x_m) \right) } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n,m }
{ \geq }{ n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen $a$ konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} die Folge
\mathl{x_0,y_0,x_1,y_1, \ldots}{} betrachtet, die ebenfalls gegen $a$ konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.}
{}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}

}
{

Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) anwenden und erhalten mit [[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln' (x) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \exp' ( \ln x) } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \exp ( \ln x) } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ x } } }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Taylorentwicklung}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ x^2-4x+5 }{ x-6 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bis zum Grad $\leq 2$.

}
{

Die ersten beiden Ableitungen von $f$ sind
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f'(x) }
{ =} { { \frac{ (2x-4)(x-6) - (x^2-4x+5) }{ (x-6)^2 } } }
{ =} { { \frac{ x^2-12x+19 }{ (x-6)^2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{} und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f^{\prime \prime}(x) }
{ =} { \left( \frac{ x^2-12x+19 }{ (x-6)^2 } \right)' }
{ =} { { \frac{ (2x-12)( x-6)^2 -2 (x^2-12x+19) (x-6) }{ (x-6)^4 } } }
{ =} { 2 { \frac{ ( x-6)^2 - (x^2-12x+19) }{ (x-6)^3 } } }
{ =} { 2 { \frac{ 17 }{ (x-6)^3 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 34 }{ (x-6)^3 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(-1) }
{ =} { { \frac{ 1+4+5 }{ -7 } } }
{ =} { - { \frac{ 10 }{ 7 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(-1) }
{ =} { { \frac{ 1 + 12 +19 }{ (-7)^2 } } }
{ =} { { \frac{ 32 }{ 49 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (-1) }
{ =} { { \frac{ 34 }{ (-7)^3 } } }
{ =} { - { \frac{ 34 }{ 343 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist die Taylorentwicklung in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bis zum Grad $2$ gleich
\mathdisp {- { \frac{ 10 }{ 7 } } + { \frac{ 32 }{ 49 } } (x+1)- { \frac{ 17 }{ 343 } } (x+1)^2} { . }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4 (3+1)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Bestimme die kleinste positive Nullstelle von $P$. } {Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$? }

}
{

\aufzaehlungzwei {Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit $24$ multiplizieren und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{x^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} setzen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^2-12y+24 }
{ =} { { \left( y-6 \right) }^2 -36+24 }
{ =} { { \left( y-6 \right) }^2 -12 }
{ =} { 0 }
{ } { }
} {}{}{} zu lösen, also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{1,2} }
{ =} { \pm \sqrt{12} + 6 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} {6 - \sqrt{12} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { \sqrt{ 6 - \sqrt{12} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms. } {Da die Kosinusreihe gleich
\mathl{\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n} }{(2n)!}}{} ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da
\mathl{\pi/2}{} die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{9 (1+1+2+5)}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^2-3x+2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x) }
{ =} { 2x+1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungvier{Bestimme die Nullstellen von $f$. }{Bestimme das globale Minimum von $f$. }{Finde mit einer Genauigkeit von ${ \frac{ 1 }{ 8 } }$ ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{[0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Die Graphen zu $f$ und zu $g$ begrenzen eine endliche Fläche. Skizziere die Situation und berechne den Flächeninhalt der eingegrenzten Fläche. }

}
{

\aufzaehlungvier{Es sind \mathkor {} {1} {und} {2} {} die Nullstellen von $f$. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x) }
{ =} {2x-3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der einzigen Nullstelle bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dort liegt das globale isolierte Minimum mit dem Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right) }
{ =} {{ \frac{ 9 }{ 4 } } -3 \left( \frac{ 3 }{ 2 } \right) +2 }
{ =} { -{ \frac{ 1 }{ 4 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vor. }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(0) }
{ =} {2 }
{ >} {1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(1) }
{ =} {0 }
{ <} {1 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} deshalb muss es nach dem Zwischenwertsatz eine Stelle geben, wo $f$ den Wert $1$ annimmt. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right) }
{ =} { \left( \frac{ 1 }{ 2 } \right)^2 -3 \cdot { \frac{ 1 }{ 2 } } +2 }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 4 } } }
{ <} {1 }
{ } { }
} {}{}{.} Deshalb liegt die gesuchte Stelle in
\mathl{[0, { \frac{ 1 }{ 2 } } ]}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \left( \frac{ 1 }{ 4 } \right) }
{ =} { \left( \frac{ 1 }{ 4 } \right)^2 -3 \cdot { \frac{ 1 }{ 4 } } +2 }
{ =} { { \frac{ 21 }{ 16 } } }
{ >} {1 }
{ } { }
} {}{}{.} Deshalb liegt die gesuchte Stelle in
\mathl{[ { \frac{ 1 }{ 4 } }, { \frac{ 1 }{ 2 } } ]}{.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \left( \frac{ 3 }{ 8 } \right) }
{ =} { \left( \frac{ 3 }{ 8 } \right)^2 -3 \cdot { \frac{ 3 }{ 8 } } +2 }
{ =} { { \frac{ 65 }{ 64 } } }
{ >} {1 }
{ } { }
} {}{}{.} Deshalb liegt die gesuchte Stelle in
\mathl{[ { \frac{ 3 }{ 8 } }, { \frac{ 1 }{ 2 } } ]}{.} }{Die Gleichsetzung der beiden Funktionen führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 -5x+1 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} was auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1,x_2 }
{ =} { { \frac{ 5 \pm \sqrt{25-4} }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 5 \pm \sqrt{21} }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für die $x$-Koordinate der beiden Schnittpunkte führt. Im Folgenden sei $x_1$ der kleinere Wert. Der in Frage stehende Flächeninhalt ergibt sich, indem man von dem Flächeninhalt des durch $g$, der $x$-Achse und die vertikalen Achsen durch \mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {} begrenzten Vierecks $V$ die Flächeninhalte unterhalb von $f$ zwischen $x_1$ und $1$ und zwischen \mathkor {} {2} {und} {x_2} {} abzieht und den Flächeninhalt der Fläche oberhalb von $f$ zwischen \mathkor {} {1} {und} {2} {} dazuaddiert. Der Flächeninhalt des Vierecks ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(x_2-x_1) { \frac{ g(x_1)+g(x_2) }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 5+ \sqrt{21} -5 + \sqrt{21} }{ 2 } } \cdot { \frac{ 12 }{ 2 } } }
{ =} { 6 \sqrt{21} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Eine Stammfunktion zu $f$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }x^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } x^2 +2x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} die relevanten Werte sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(1) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } - { \frac{ 3 }{ 2 } } +2 }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 6 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(2) }
{ =} { { \frac{ 8 }{ 3 } } - 6 +4 }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{F(x_1) }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 5 - \sqrt{21} }{ 2 } \right)^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 5 - \sqrt{21} }{ 2 } \right)^2+ 2 \left( \frac{ 5 - \sqrt{21} }{ 2 } \right) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 125 - 75 \sqrt{21} + 15 \cdot 21 -21 \sqrt{21} }{ 8 } \right) - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 25 - 10 \sqrt{21} + 21 }{ 4 } \right)+ 5 - \sqrt{21} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 440 - 96 \sqrt{21} }{ 8 } \right) - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 46 - 10 \sqrt{21} }{ 4 } \right)+ 5 - \sqrt{21} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }{ \left( 55 - 12 \sqrt{21} \right) } - 3 \left( \frac{ 23 - 5 \sqrt{21} }{ 4 } \right)+ 5 - \sqrt{21} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 55 }{ 3 } } - { \frac{ 69 }{ 4 } }+ 5 + { \left( - 4 + { \frac{ 15 }{ 4 } } -1 \right) } \sqrt{21} }
{ =} { { \frac{ 73 }{ 12 } } - { \frac{ 5 }{ 4 } } \sqrt{21} }
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{F(x_2) }
{ =} {{ \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 5 + \sqrt{21} }{ 2 } \right)^3 - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 5+ \sqrt{21} }{ 2 } \right)^2+ 2 \left( \frac{ 5 + \sqrt{21} }{ 2 } \right) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 125 + 75 \sqrt{21} + 15 \cdot 21 +21 \sqrt{21} }{ 8 } \right)- { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 25+ 10 \sqrt{21} + 21 }{ 4 } \right)+ 5 + \sqrt{21} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }\left( \frac{ 440+ 96 \sqrt{21} }{ 8 } \right) - { \frac{ 3 }{ 2 } } \left( \frac{ 46 + 10 \sqrt{21} }{ 4 } \right)+ 5 + \sqrt{21} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }{ \left( 55 + 12 \sqrt{21} \right) } - 3 \left( \frac{ 23+ 5 \sqrt{21} }{ 4 } \right)+ 5 + \sqrt{21} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 55 }{ 3 } } - { \frac{ 69 }{ 4 } }+ 5 + { \left( 4 - { \frac{ 15 }{ 4 } } +1 \right) } \sqrt{21} }
{ =} { { \frac{ 73 }{ 12 } }+ { \frac{ 5 }{ 4 } } \sqrt{21} }
{ } {}
{ } {}
}{}{.} Der gesuchte Flächeninhalt ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{A }
{ =} { 6 \sqrt{21} - (F(1)-F(x_1)) + \betrag { F(2)-F(1) } -(F(x_2)-F(2)) }
{ =} { 6 \sqrt{21} - F(1)+F(x_1) + F(1)-F(2) -F(x_2) +F(2) }
{ =} { 6 \sqrt{21} +F(x_1) -F(x_2) }
{ =} { 6 \sqrt{21} +{ \frac{ 73 }{ 12 } }- { \frac{ 5 }{ 4 } } \sqrt{21} -{ \frac{ 73 }{ 12 } }- { \frac{ 5 }{ 4 } } \sqrt{21} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 7 }{ 2 } } \sqrt{21} }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { x^2 \ln x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf $\R_+$.

}
{

Mit partieller Integration erhält man die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_a^b x^2 \ln x dx }
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 \ln x \right) | _{ a } ^{ b } - \int_a^b { \frac{ 1 }{ 3 } } x^2 dx }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } x^3 \ln x - { \frac{ 1 }{ 9 } } x^3} { }
eine Stammfunktion zu $f$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Bestimme die konstanten Lösungen der \definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y' }
{ =} { { \frac{ \cos \left( \cos t^2 \right) - e^{ t^3 } }{ ( t^{4} +9) e^{-t^2} + \sqrt{t^4+ e^{t} } } } { \left( y^2-y-3 \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

}
{

Es liegt eine Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} { g(t) h(y) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit getrennten Variablen vor, für die konstanten Lösungen sind nur die Nullstellen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h(y) }
{ = }{y^2-y-3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} relevant. Diese sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{13}+1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit sind die konstanten Lösungen gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t) }
{ =} { { \frac{ \sqrt{13}+1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y(t) }
{ =} { { \frac{ - \sqrt{13}+1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}