Lösung
- Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit einer
Verknüpfung
-
heißt
Gruppe,
wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle gilt
-
- Das Element ist ein neutrales Element, d.h. für alle gilt
-
- Zu jedem gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein mit
-
- Ein Element
mit
für alle
heißt
Minimum
von .
- Es sei eine
Folge
in . Ein Element
heißt Häufungspunkt der Folge, wenn es für jedes
unendlich viele Folgenglieder mit
gibt.
- Der
Logarithmus zur Basis
,
,
von
ist durch
-
definiert.
- Man sagt, dass -mal stetig differenzierbar ist, wenn
n-mal differenzierbar
ist und die
n-te Ableitung
stetig
ist.
- Das Oberintegral ist definiert als das
Infimum
von sämtlichen
Treppenintegralen
zu
oberen Treppenfunktionen
von .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper .
- Das
Weierstraß-Kriterium
für Funktionenfolgen.
- Der Satz über die Ableitung in einem lokalen Extremum.
Lösung
Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.
Lösung Widerspruchsbeweis/Einwand/Aufgabe/Lösung
Lösung
Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es sei zunächst
-
Dies bedeutet
-
und
-
Dies bedeutet einerseits und andererseits . Also ist .
Wenn umgekehrt gilt, so ist und . Wegen der Teilmengenbeziehungen
und
ist
-
und
-
und damit auch
-
Lösung
a) Die ganze Prozentzahl wird bei Ja-Antworten von Zuschauern bei der angegebenen Rundung durch
-
berechnet.
b) Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht surjektiv. Sie ist injektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person größer als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um mindestens erhöht. Für ist die Abbildung die Identität, also injektiv und surjektiv. Für ist die Abbildung aus Anzahlgründen nicht injektiv. Sie ist surjektiv, da der ungerundete Prozentwert einer Person weniger als ist und daher die Hinzunahme einer Person die gerundete Prozentanzahl um höchstens erhöht.
c) Die Prozentzahl kommt nicht vor. Für ist das Ergebnis
-
(wegen
)
und für ist das Ergebnis
-
(wegen
).
d) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis
-
(wegen
)
und für ist das Ergebnis
-
(wegen
).
e) Die Prozentzahl kommt doppelt vor. Für ist das Ergebnis
-
(wegen
)
und für ist das Ergebnis ebenfalls
-
(wegen
).
Wegen der Symmetrie der Situation
(bis auf die Rundung)
kommt auch die Prozentzahl doppelt vor, für .
Lösung
Löse die lineare Gleichung
-
über und berechne den Betrag der Lösung.
Lösung
Es ist
Der Betrag ist
-
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
Lösung
Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir
annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle
positive
reelle Zahlen
sind. Es ist
-
Somit folgt die Konvergenz aus dem
Majorantenkriterium und der
Konvergenz
der
geometrischen Reihe.
- Skizziere die Graphen der Funktionen
-
und
-
- Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.
Lösung
-
- Die Schnittbedingung führt auf
-
bzw. auf
-
Quadratisches Ergänzen führt auf
-
also
-
Somit ist
-
die -Koordinate des einzigen Schnittpunktes
(die negative Wurzel führt zu einem Punkt außerhalb des Definitionsbereiches).
Der einzige Schnittpunkt ist
-
Beweise den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion , wobei
eine Teilmenge ist.
Lösung
Aufgrund von
Satz 14.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
genügt es zu zeigen, dass der
Grenzwert
für jedes
existiert. Es sei eine
Folge
in , die gegen
konvergiert.
Wir zeigen, dass dann auch die Bildfolge konvergiert. Da diese Bildfolge in ist, und
vollständig
ist, genügt es zu zeigen, dass eine
Cauchy-Folge
vorliegt.
Sei
vorgegeben. Wegen der
gleichmäßigen Stetigkeit
von gibt es ein
derart, dass
für alle
mit
ist. Wegen der Konvergenz der Folge handelt es sich nach
Lemma 6.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
um eine Cauchy-Folge und daher gibt es ein mit
für alle
.
Somit gilt
-
für alle
.
Wir müssen nun noch zeigen, dass für jede gegen konvergente Folge der Grenzwert der Bildfolge gleich ist. Dies ergibt sich aber sofort, wenn man für zwei Folgen
und
die Folge betrachtet, die ebenfalls gegen konvergiert, und für die der Limes der Bildfolge mit den Limiten der Teilbildfolgen übereinstimmt.
Bestimme die
Ableitung
der
Funktion
-
Lösung
Da der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, können wir
Satz 18.10 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
anwenden und erhalten mit
[[Reelle Exponentialfunktion/Ableitung/Fakt|Satz . (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]]
-
Bestimme die
Taylorentwicklung
der Funktion
-
im Punkt
bis zum Grad .
Lösung
Lösung
- Wir lösen die biquadratische Gleichung, indem wir mit multiplizieren und
setzen. Es ist
-
zu lösen, also ist
-
Dies ist in jedem Fall positiv und die kleinere Lösung ist
-
Somit ist
-
die kleinste Nullstelle des Ausgangspolynoms.
- Da die Kosinusreihe gleich ist, handelt es sich bei dem angegebenen Polynom um eine polynomiale Approximation der Kosinusfunktion. Da die kleinste positive Nullstelle des Kosinus ist, besteht ein gewisser Zusammenhang zwischen den beiden Zahlen.
Lösung
- Es sind
und
die Nullstellen von .
- Es ist
-
mit der einzigen Nullstelle bei
-
Dort liegt das globale isolierte Minimum mit dem Wert
-
vor.
- Es ist
-
und
-
deshalb muss es nach dem Zwischenwertsatz eine Stelle geben, wo den Wert annimmt. Es ist
-
Deshalb liegt die gesuchte Stelle in . Es ist
-
Deshalb liegt die gesuchte Stelle in . Es ist
-
Deshalb liegt die gesuchte Stelle in .
- Die Gleichsetzung der beiden Funktionen führt auf
-
was auf
-
für die -Koordinate der beiden Schnittpunkte führt. Im Folgenden sei der kleinere Wert. Der in Frage stehende Flächeninhalt ergibt sich, indem man von dem Flächeninhalt des durch , der -Achse und die vertikalen Achsen durch
und
begrenzten Vierecks die Flächeninhalte unterhalb von zwischen und und zwischen
und
abzieht und den Flächeninhalt der Fläche oberhalb von zwischen
und
dazuaddiert. Der Flächeninhalt des Vierecks ist
-
Eine Stammfunktion zu ist
-
die relevanten Werte sind
-
-
Der gesuchte Flächeninhalt ist
Bestimme eine
Stammfunktion
zu
-
auf .
Lösung
Mit partieller Integration erhält man die Beziehung
-
und daher ist
-
eine Stammfunktion zu .
Bestimme die konstanten Lösungen der
gewöhnlichen Differentialgleichung
-
Lösung
Es liegt eine Differentialgleichung
-
mit getrennten Variablen vor, für die konstanten Lösungen sind nur die Nullstellen von
relevant. Diese sind
-
Somit sind die konstanten Lösungen gleich
-
und
-