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Kurs:Analysis/Teil I/31/Klausur mit Lösungen/latex

Aus Wikiversity

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 4 }

\renewcommand{\afuenf}{ 2 }

\renewcommand{\asechs}{ 4 }

\renewcommand{\asieben}{ 5 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 2 }

\renewcommand{\azehn}{ 6 }

\renewcommand{\aelf}{ 7 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 10 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {inverses Element} {} zu einem Element
\mathl{x \in M}{} bezüglich einer \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {\circ} {M \times M} {M } {(x,y)} {x \circ y } {,} mit einem \definitionsverweis {neutralen Element}{}{}
\mathl{e \in M}{.}

}{Eine \stichwort {lineare} {} (oder \stichwort {totale} {}) Ordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$.

}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}

}{Ein \stichwort {Berührpunkt} {} einer Menge
\mathl{T \subseteq {\mathbb K}}{.}

}{Die \stichwort {Taylor-Reihe} {} zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion \maabbdisp {f} {U} { {\mathbb K} } {} auf einer offenen Menge
\mathl{U \subseteq {\mathbb K}}{} in einem Punkt
\mathl{a \in U}{.}

}{Das \stichwort {obere Treppenintegral} {} zu einer oberen Treppenfunktion $t$ zu einer Funktion \maabbdisp {f} {I} {\R } {} auf einem beschränkten Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Zu
\mathl{x \in M}{} heißt
\mathl{y \in M}{} inverses Element, wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \circ y }
{ =} { e }
{ =} {y \circ x }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }{Eine \definitionsverweis {Ordnungsrelation}{}{} $\preccurlyeq$ auf $I$ heißt lineare Ordnung, wenn zu je zwei Elementen
\mathl{x,y \in I}{} die Beziehung \mathkor {} {x \preccurlyeq y} {oder} {y \preccurlyeq x} {} gilt. }{Die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z = a+b { \mathrm i} } { \overline{ z } = a-b { \mathrm i} } {,} heißt komplexe Konjugation. }{Ein Punkt
\mathl{x \in {\mathbb K}}{} heißt Berührpunkt von $T$, wenn es (mindestens) eine Folge
\mathl{x_n \in T}{} gibt, die gegen
\mathl{x}{} konvergiert. }{Die Taylor-Reihe zu $f$ im Entwicklungspunkt $a$ ist
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^{ \infty } \frac{ f^{( k )}(a)}{ k !} (x-a)^{ k }} { . }
}{Zur \definitionsverweis {oberen Treppenfunktion}{}{} \maabbdisp {t} {I} {\R } {} von $f$ zur Unterteilung
\mathbed {a_i} {}
{i=0 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} und den Werten
\mathbed {t_i} {}
{i=1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} heißt das \definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
\mathdisp {T= \sum_{i=1}^n t_i (a_i - a_{i-1})} { }
eine oberes Treppenintegral von $f$ auf $I$. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Das \stichwort {Quetschkriterium} {} für reelle Folgen.}{Der \stichwort {Satz über die lineare Approximierbarkeit} {} einer Funktion \maabbdisp {f} {{\mathbb K}} {{\mathbb K} } {} in einem Punkt
\mathl{a \in {\mathbb K}}{.}}{Die \stichwort {Formel für die Stammfunktion der Umkehrfunktion} {.}}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} reelle Folgen. Es gelte
\mathdisp {x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N} { }
und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Dann konvergiert auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen diesen Grenzwert $a$.}{Die Funktion $f$ ist in $a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein
\mathl{s \in {\mathbb K}}{} und eine Funktion \maabbdisp {r} { {\mathbb K} } { {\mathbb K} } {} gibt mit $r$ stetig in $a$ und
\mathl{r(a)=0}{} und mit
\mathdisp {f(x) = f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a)} { . }
}{Es sei \maabb {f} {[a,b]} {[c,d] } {} eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei $F$ eine Stammfunktion von $f$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G(y) }
{ \defeq} { y f^{-1} (y) - F(f^{-1}(y)) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Stammfunktion der Umkehrfunktion
\mathl{f^{-1}}{.}}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

$E$ wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte. \aufzaehlungsechs{Der Mörder ist $A$ oder $B$ oder $C$ oder $D$. }{Wenn $C$ der Mörder ist, dann ist $D$ nicht der Mörder oder $A$ ist der Mörder. }{$A,B,C,D$ sind alle verschieden. }{Es gibt genau einen Mörder. }{Wenn $A$ nicht der Mörder ist, dann ist $D$ nicht der Mörder. }{$A$ ist genau dann der Mörder, wenn $B$ der Mörder ist. } Wer ist der Mörder?

}
{

Aus (6), (3) und (4) folgt, dass $A$ und $B$ beide nicht der Mörder sind, denn sonst wären beide der Mörder. Nach (5) ist somit auch $D$ nicht der Mörder. Wegen (1) muss also $C$ der Mörder sein. \zusatzklammer {(2) wird nicht verwendet} {.} {}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Zeige durch Induktion über $n$, dass es zu natürlichen Zahlen $a,n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} natürliche Zahlen $q,r$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ < }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { aq+r }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{

Es sei
\mathl{a >0}{} fixiert. Der Induktionsanfang ergibt sich direkt mit
\mathl{q=0}{} und
\mathl{r=n=0}{.} Für den Induktionsschluss sei die Aussage für $n$ bewiesen, d.h. wir haben eine Darstellung
\mathl{n=aq+r}{} mit
\mathl{r <a}{} und müssen eine ebensolche Darstellung für
\mathl{n+1}{} finden. Wenn
\mathl{r < a-1}{} ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n+1 }
{ =} {aq+r +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und wegen
\mathl{r+1 <a}{} ist dies eine gesuchte Darstellung. Ist hingegen
\mathl{r=a-1}{,} so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n+1 }
{ =} {aq+r +1 }
{ =} {aq +a }
{ =} {a(q+1) +0 }
{ } { }
} {}{}{,} und dies ist eine gesuchte Darstellung.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge
\mathl{21,7}{} Meter beträgt. Wenn man alles Gold von Deutschland zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge
\mathl{8,6}{} Meter beträgt. Wie viel Prozent des weltweiten Goldes besitzt Deutschland?

}
{

Der Anteil am weltweiten Gold ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ 86 }{ 217 } \right)^3 }
{ =} { 0,396^3 }
{ =} {0 ,062 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also etwa
\mathl{6,2 \%}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme die Lösungsmenge in $\Q$ für die Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 7x-5 } }
{ >} { \betrag { 6x-7 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Wir analysieren die Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { 7x-5 } }
{ >} { \betrag { 6x-7 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} abhängig davon, ob die Beträge positiv oder negativ zu nehmen sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7x-5 }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \geq }{ { \frac{ 5 }{ 7 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6x-7 }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \geq }{ { \frac{ 7 }{ 6 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5 }{ 7 } } }
{ < }{ { \frac{ 7 }{ 6 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} führt dies auf die folgenden Fälle. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ <} { { \frac{ 5 }{ 7 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann muss man die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - (7x-5) }
{ >} { -( 6x-7) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} betrachten, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7x-5 }
{ <} {6x-7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ <} { -2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher gehört
\mathl{{ \left\{ x \in \Q \mid x < -2 \right\} }}{} zur Lösungsmenge. }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5 }{ 7 } } }
{ \leq} {x }
{ \leq} { { \frac{ 7 }{ 6 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann muss man die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x-5 }
{ >} { -( 6x-7) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} betrachten, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x-5 }
{ >} { -6x +7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{13 x }
{ >} { 12 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ >} { { \frac{ 12 }{ 13 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5 }{ 7 } } }
{ <} { { \frac{ 12 }{ 13 } } }
{ <} { { \frac{ 7 }{ 6 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt dies auf die Lösungen
\mathl{{ \left\{ x \in \Q \mid { \frac{ 12 }{ 13 } } < x \leq { \frac{ 7 }{ 6 } } \right\} }}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ >} { { \frac{ 7 }{ 6 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann muss man die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x-5 }
{ >} { 6x-7 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} betrachten, die auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ >} { -2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} führt. Also in diesem Fall automatisch erfüllt ist. Daher gehört
\mathl{{ \left\{ x \in \Q \mid x \geq { \frac{ 7 }{ 6 } } \right\} }}{} zur Lösungsmenge. } Die gesamte Lösungsmenge besteht daher aus allen $x \in \Q$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ < }{-2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ > }{ { \frac{ 12 }{ 13 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.

}
{

Wir betrachten zusätzlich die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n }
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \cdot { \frac{ 6 }{ 7 } } \cdots \cdot { \frac{ 2n }{ 2n+1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Beide Folgen sind streng fallend, da sich jedes Glied aus dem Vorgängerglied durch Multiplikation mit einem Faktor
\mathl{<1}{} ergibt. Da sie positiv sind, müssen nach Korollar 7.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) die beiden Folgen konvergieren, sagen wir gegen $x$ bzw. $y$. Die Produktfolge ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_ny_n }
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } } \right) } { \left( { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \cdot { \frac{ 6 }{ 7 } } \cdots \cdot { \frac{ 2n }{ 2n+1 } } \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 2 }{ 3 } }\cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \cdots { \frac{ 2n }{ 2n+1 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2n+1 } } }
{ } { }
} {} {}{.} Diese Folge konvergiert gegen $0$, somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xy }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} nach Lemma 6.1 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))  (2). Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{n} }
{ >} {x_{n} }
{ } { }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,} da man die beteiligten $n$ Faktoren untereinander vergleichen kann. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ \geq} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es sei
\mathbed {I_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{} in $\R$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mathdisp {\bigcap_{n \in \N} I_n} { }
aus genau einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besteht.

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ \in }{ I_n }
{ = }{ [a_n,b_n] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} beliebig gewählt. Wir behaupten, dass dies eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist. Zu gegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei $n_0$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b_{n_0}- a_{n_0} }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \geq }{n }
{ \geq }{n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m-x_n } }
{ \leq} {b_n-a_n }
{ \leq} {\epsilon }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_m,x_n }
{ \in }{ I_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Es sei $x$ der Limes dieser Cauchy-Folge. Wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \notin }{I_m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein $m$, so wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ <} {a_m }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {oder \mathlk{x > b_m}{}} {} {,} doch wegen der Konvergenz der Folge gegen $x$ würden dann auch die Folgenglieder für $n$ hinreichend groß echt unterhalb von $a_m$ und damit von $a_n$ liegen, im Widerspruch zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ \in }{ I_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\bigcap_{n \in \N} I_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Würden zwei Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ < }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zum Durchschnitt aller Intervalle gehören, so wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y-x }
{ \leq} { b_n-a_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle $n$ im Widerspruch dazu, dass die Intervalllängen gegen $0$ konvergieren.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Es sei $z \in {\mathbb C},\, \betrag { z } <1$. Bestimme und beweise eine Formel für die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty (-1)^k z^k} { . }

}
{

Nach Satz 9.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ < }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum^\infty_{k = 0} x^k }
{ =} { \frac{ 1 }{ 1-x } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Angewendet auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{-z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ k = 0}^\infty (-1)^k z^k }
{ =} { \frac{ 1 }{ 1-(-z )} }
{ =} { \frac{ 1 }{ 1+z } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ k = 0}^\infty (-1)^k z^k }
{ =} { \frac{ 1 }{ 1+z } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6 (4+1+1)}
{

\aufzaehlungdrei{Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \ln \betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } } } }
{ =} { \betrag { \ln \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Stimmt diese Gleichung auch ohne die äußeren Beträge? }{Wie sieht es aus, wenn man die inneren Beträge weglässt? }

}
{

\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } }
{ =} { { \frac{ 1 - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ 1 - 5 }{ 4 } } }
{ =} { { \frac{ -4 }{ 4 } } }
{ =} {-1 }
} {} {}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } } \cdot \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } } }
{ =} {1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da der Logarithmus die Multiplikation in die Addition überführt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln \betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } } + \ln \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } } }
{ =} { \ln 1 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - \ln \betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } } }
{ =} { \ln \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Durch Übergang zu den Beträgen erhält man Gleichheit. }{Nach Teil (1) gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - \ln \betrag { { \frac{ 1+ \sqrt{5} }{ 2 } } } }
{ =} { \ln \betrag { { \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da die Logarithmen nicht $0$ sind, gilt diese Gleichung nicht, wenn man das vordere Minuszeichen weglässt. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{5} }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} somit ist
\mathl{{ \frac{ 1- \sqrt{5} }{ 2 } }}{} negativ. Davon ist der Logarithmus gar nicht definiert, man kann also die inneren Beträge nicht weglassen. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{7}
{

Beweise den Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Unter den Voraussetzungen wird die Taylor-Formel zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)-f(a) }
{ =} { \frac{ f^{ (n +1) } ( c )}{ (n +1)! } (x-a)^{ n +1 } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit $c$ \zusatzklammer {abhängig von $x$} {} {} zwischen \mathkor {} {a} {und} {x} {.} Je nachdem, ob \mathkor {} {f^{(n+1)}(a)>0} {oder} {f^{(n+1)}(a) < 0} {} ist, gilt auch \zusatzklammer {wegen der vorausgesetzten Stetigkeit der $(n+1)$-ten Ableitung} {} {} \mathkor {} {f^{(n+1)}(x)>0} {bzw.} {f^{(n+1)}(x) < 0} {} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{[a-\epsilon,a+\epsilon] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein geeignetes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für diese $x$ ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \in }{ [a-\epsilon,a+\epsilon] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} sodass das Vorzeichen von
\mathl{f^{(n+1)}(c)}{} vom Vorzeichen von
\mathl{f^{(n+1)}(a)}{} abhängt.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Bei $n$ gerade ist
\mathl{n+1}{} ungerade und daher wechselt
\mathl{(x-a)^{n+1}}{} das Vorzeichen bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x }
{ < }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist das Vorzeichen negativ und bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x }
{ > }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist es positiv} {} {.} Da das Vorzeichen von
\mathl{f^{(n+1)}(c)}{} sich nicht ändert, ändert sich das Vorzeichen von
\mathl{f(x)-f(a)}{.} Das bedeutet, dass kein Extremum vorliegen kann.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $n$ ungerade. Dann ist
\mathl{n+1}{} gerade, sodass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x-a)^{n+1} }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in der Umgebung ist. Das bedeutet in der Umgebung bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a) }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ > }{ f(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und in $a$ ein \definitionsverweis {isoliertes Minimum}{}{} vorliegt, und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{(n+1)}(a) }
{ < }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ < }{ f(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und in $a$ ein \definitionsverweis {isoliertes Maximum}{}{} vorliegt.}
{}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{10 (1+1+4+2+2)}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_{\geq 0}} {\R_{\geq 0} } {x} { \sqrt{x} } {.} \aufzaehlungfuenf{Berechne die erste Ableitung von $f$. }{Berechne die zweite Ableitung von $f$. }{Erstelle \zusatzklammer {und beweise} {} {} eine Formel für die $n$-te Ableitung von $f$ \zusatzklammer {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} }{Bestimme das \definitionsverweis {Taylorpolynom}{}{} zu $f$ im Punkt $1$ vom Grad $4$. }{Bestimme die Taylorreihe zu $f$ im Punkt $1$. }

}
{

\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } x^{ - { \frac{ 1 }{ 2 } } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 1 }{ \sqrt{x} } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime} (x) }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 4 } } x^{ - { \frac{ 3 }{ 2 } } } }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 1 }{ \sqrt{x}^3 } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f^{(n)}(x) }
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n } } \cdot { \frac{ 1 }{ \sqrt{x}^{2n-1} } } }
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n } } \cdot x^{ { \frac{ 1-2n }{ 2 } } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies beweisen wir durch Induktion nach $n$. Der Induktionsanfang ist durch Aufgabenteil (1) gesichert \zusatzklammer {das leere Produkt ist $1$} {} {.} Der Induktionsschluss ergibt sich durch
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ f^{(n+1)} (x) }
{ =} { { \left( f^{(n)} (x) \right) }' }
{ =} { { \left( (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n } } \cdot x^{ { \frac{ 1-2n }{ 2 } } } \right) }' }
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n } } \cdot { \frac{ 1-2n }{ 2 } } \cdot x^{ { \frac{ 1-2n-2 }{ 2 } } } }
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n } } \cdot (-1) { \frac{ 2n-1 }{ 2 } } \cdot x^{ { \frac{ 1-2(n+1) }{ 2 } } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { (-1)^{n+2} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-1} (2k+1) }{ 2^{n+1} } } x^{ { \frac{ 1-2(n+1) }{ 2 } } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} }{Das Taylorpolynom vom Grad $4$ mit Entwicklungspunkt $1$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } (x-1) - { \frac{ 1 }{ 2 \cdot 2 } } (x-1)^2 + { \frac{ 3 }{ 8 \cdot 6 } } (x-1)^3 -{ \frac{ 15 }{ 16 \cdot 24 } } (x-1)^4 }
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } (x-1) - { \frac{ 1 }{ 4 } } (x-1)^2 + { \frac{ 1 }{ 16 } } (x-1)^3 -{ \frac{ 5 }{ 128 } } (x-1)^4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Aus der Formel für die Ableitungen folgt, dass der $n$-te Koeffizient der Taylorreihe für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_n }
{ =} { (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n n! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist, also ist die Taylorreihe gleich
\mathdisp {1 + \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} { \frac{ \prod_{k = 1}^{n-2} (2k+1) }{ 2^n n! } } (x-1)^n} { . }
}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.

}
{

\definitionsverweis {Ableiten}{}{} unter Verwendung von [[Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt|Kurs:Analysis/Differenzierbar/D offen K/Rechenregeln/Fakt/Faktreferenznummer (Analysis (Osnabrück 2021-2023))]] und Satz 18.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ergibt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( y f^{-1}(y) - F { \left( f^{-1} (y) \right) } \right) }' }
{ =} { f^{-1}(y) + y { \frac{ 1 }{ f'(f^{-1}(y)) } } - f { \left( f^{-1}(y) \right) } { \frac{ 1 }{ f' { \left( f^{-1}(y) \right) } } } }
{ =} { f^{-1}(y) }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Stammfunktion}{}{} von
\mathdisp {\sin \left( \sin \left( \cos x \right) \right) \cdot \cos \left( \cos x \right) \cdot \sin x} { . }

}
{

Die Funktion hat die Gestalt
\mathdisp {f (g(h(x))) \cdot g' (h(x)) \cdot ( - h'(x))} { , }
deshalb ist nach der Kettenregel \zusatzklammer {für drei Funktionen} {} {}
\mathl{- F(g(h(x)))}{} eine Stammfunktion dieser Funktion, wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ bezeichnet. Also ist
\mathdisp {\cos \left( \sin \left( \cos x \right) \right)} { }
eine Stammfunktion.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6}
{

Finde die Lösung für das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} { y - y^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ \in }{ ]0,1[ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y(0) }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{

Es handelt sich um eine zeitunabhängige eindimensionale Differentialgleichung, die mit dem Ansatz für getrente Variablen gelöst werden kann. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ y-y^2 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ y } } + { \frac{ 1 }{ 1-y } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} eine Stammfunktion davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H(y) }
{ =} { \ln y - \ln \left( 1-y \right) }
{ =} { \ln \left( { \frac{ y }{ 1-y } } \right) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dafür müssen wir die Umkehrfunktion bestimmen. Der Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { \ln \left( { \frac{ y }{ 1-y } } \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^z }
{ =} { { \frac{ y }{ 1-y } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (1-y)e^z -y }
{ =} { y(- e^z-1) +e^z }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y }
{ =} { { \frac{ e^z }{ e^z+1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Lösungsfunktionen haben daher die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t) }
{ =} { { \frac{ e^{t+c} }{ e^{t+c}+1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei die Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(0) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ e^{c} }{ e^{c}+1 } } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Konstante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} festlegt. Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t) }
{ =} { { \frac{ e^{t} }{ e^{t}+1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}