Kurs:Analysis/Teil I/52/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	5	5	8	3	3	4	7	2	2	4	3	6	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Folge in einer Menge ${}M$.
2. Ein offenes Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Eine obere Schranke einer Teilmenge ${}M\subseteq K$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Ein Berührpunkt einer Menge ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$.
5. Eine stetige Fortsetzung einer stetigen Funktion

   $f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

   auf eine Teilmenge ${}{\tilde {T}}$, ${}T\subseteq {\tilde {T}}\subseteq {\mathbb {K} }$.

6. Die gewöhnliche Differentialgleichung zu einer Funktion

   $f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{2}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper ${}K$.
2. Der Identitätssatz für Potenzreihen.
3. Das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Warum gibt es für das Produkt der ersten ${}n$ natürlichen Zahlen (beginnend mit ${}1$) ein eigenes Symbol (die Fakultät), aber nicht für die Summe der ersten ${}n$ natürlichen Zahlen?

Aufgabe * (2 Punkte)

1. Wie viele Minuten sind ein Fünftel einer Stunde?
2. Wie viel Prozent von einer Stunde sind ${}45$ Minuten?
3. Wie viele Minuten sind ${}90\%$ einer Stunde?
4. Wie viel Prozent von einer Stunde ist ein Tag?

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch ${}8$ teilbar ist.

1. Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
2. Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass es zu je zwei Elementen ${}x<y$ eine rationale Zahl ${}n/k$ (mit ${}n\in \mathbb {Z} ,\,k\in \mathbb {N} _{+}$) mit

${}x<{\frac {n}{k}}<y\,$

gibt.

Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

1. Zeige die Abschätzungen

   ${}{\frac {5}{2}}\leq {\sqrt {7}}\leq {\frac {8}{3}}\,.$

2. Zeige die Abschätzungen

   ${}15\leq 3^{\sqrt {7}}\leq 19\,.$

3. Zeige die Abschätzung

   ${}17\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es ist ${}1+2+3=1\cdot 2\cdot 3$. Gibt es neben der ${}1$ weitere natürliche (ganze, reelle, komplexe) Zahlen ${}x$, die die Gleichung

${}x+(x+1)+(x+2)=x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\,$

erfüllen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+cX^{2}$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-2)=3,\,f(0)=2,\,f(1)=4.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die stetige Fortsetzbarkeit einer Funktion ${}T\longrightarrow {\mathbb {K} }$, wobei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises ${}E$ mit dem Kreis ${}K$, der den Mittelpunkt ${}(1,0)$ und den Radius ${}2$ besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {\ln(x+1)}{\sin \left(2x\right)}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto e^{-{\frac {1}{x}}}\cdot \ln x$

nach unten beschränkt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad ${}\leq 2$ zur Funktion ${}f(x)=\sin \left(x^{2}\right)$ im Nullpunkt.

Aufgabe * (6 (5+1) Punkte)

Es sei

${}f(x)={\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}\,.$

a) Bestimme die reelle Partialbruchzerlegung von ${}f(x)$.

b) Bestimme eine Stammfunktion von ${}f(x)$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

${}y'=e^{-t}\,$

mit ${}y(-5)=-7$.