Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,} die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {,} die genau zwei Werte annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+x-1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/100$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^3-3x +1
} {.}
Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[0,1]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x} \text{ für } x \neq 0\, , \\ 0 \text{ sonst}\, , \end{cases}} { }
definierte Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
nicht stetig ist, aber dem Zwischenwertsatz genügt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt{ { \frac{ 7n^2-4 }{ 3n^2-5n+2 } } }, \, n \in \N} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei rekursiv durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{n+1}
}
{ =} { \sqrt{ x_n+1 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme direkt, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Potenzfunktionen}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^n
} {,}
ein
\definitionsverweis {Extremum}{}{}
im Nullpunkt besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines beschränkten
\definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einer
\definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
derart, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von $f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein
\definitionsverweis {Maximum}{}{}
annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {reellen Intervall}{}{.}
Die Funktion habe in den Punkten
\mathbed {x_1,x_2 \in I} {}
{x_1 < x_2} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {lokale Maxima}{}{.}
Zeige, dass die Funktion zwischen
\mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {}
mindestens ein
\definitionsverweis {lokales Minimum}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {[0,1]} {[0,1[ } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {\R} {\R
} {,}
stetige Funktionen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es gebe ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (fg){{|}}_{[a-\epsilon,a+\epsilon]}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass die Einschränkung
\mathl{g{{|}}_{[a-\delta,a+\delta]}}{} die Nullfunktion ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme das Minimum der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2+3x-5 } {.}
}
{} {(Achtung: Ableitungen haben wir noch nicht eingeführt!)}
\inputaufgabe
{5}
{
Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/200$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt[3]{ { \frac{ 27n^3+13n^2+n }{ 8n^3-7n+10 } } }, \, n \in \N} { . }
}
{} {}
Die nächste Aufgabe verwendet den Begriff des Fixpunktes.
Es sei $M$ eine Menge und
\maabbdisp {f} {M} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Fixpunkt}{} der Abbildung.
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {[a,b]
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
des
\definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mathl{[a,b]}{} in sich. Zeige, dass $f$ einen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{}
besitzt.
}
{} {}
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