Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 13

Der Zwischenwertsatz

Wir interessieren uns dafür, was unter einer stetigen Abbildung $f : ℝ \to ℝ$ mit einem Intervall passiert. Der Zwischenwertsatz besagt, dass das Bild wieder ein Intervall ist.

Satz

Es seien $a \leq b$ reelle Zahlen und sei $f : [a, b] \to ℝ$ eine stetige Funktion. Es sei $u \in ℝ$ eine reelle Zahl zwischen $f (a)$ und $f (b)$ .

Dann gibt es ein $c \in [a, b]$ mit $f (c) = u$ .

Wir beschränken uns auf die Situation $f (a) \leq u \leq f (b)$ und zeigen die Existenz eines solchen $c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man $a_{0} := a$ und $b_{0} := b$ , betrachtet die Intervallmitte $c_{0} := \frac{a_{0} + b_{0}}{2}$ und berechnet

f (c_{0}) .

Bei $f (c_{0}) \leq u$ setzt man

a_{1} := c_{0} und b_{1} := b_{0}

und bei $f (c_{0}) > u$ setzt man

a_{1} := a_{0} und b_{1} := c_{0} .

In jedem Fall hat das neue Intervall $[a_{1}, b_{1}]$ die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung $f (a_{1}) \leq u \leq f (b_{1})$ erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei $c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß Satz 7.3 definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt $f (a_{n}) \leq u$ und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert $c$ , also $f (c) \leq u$ . Für die oberen Intervallgrenzen gilt $f (b_{n}) \geq u$ und das überträgt sich ebenfalls auf $c$ , also $f (c) \geq u$ . Also ist $f (c) = u$ .

◻

Die in diesem Beweis beschriebene Methode ist konstruktiv und kann zu einem expliziten Verfahren ausgebaut werden.

Korollar

Es seien $a \leq b$ reelle Zahlen und sei $f : [a, b] \to ℝ$ eine stetige Funktion mit $f (a) \leq 0$ und $f (b) \geq 0$ .

Dann gibt es ein $x \in ℝ$ mit $a \leq x \leq b$ und mit $f (x) = 0$ ,

d.h. $f$ besitzt eine Nullstelle zwischen $a$ und $b$ .

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 13.1.

◻

Beispiel

Die Abbildung

f : ℚ ⟶ ℚ, x ⟼ x^{2} - 2,

ist stetig, sie genügt aber nicht dem Zwischenwertsatz. Für $x = 0$ ist $f (0) = - 2 < 0$ und für $x = 2$ ist $f (2) = 2 > 0$ , es gibt aber kein $x \in ℚ$ mit $f (x) = 0$ , da dafür $x^{2} = 2$ sein muss, wofür es in $ℚ$ keine Lösung gibt. Der Zwischenwertsatz funktioniert also nur für reelle Zahlen.

Mit der im Beweis des Zwischenwertsatzes verwendeten Intervallhalbierungsmethode kann man insbesondere auch Quadratwurzeln „ausrechnen“, also Folgen angeben, die gegen die Quadratwurzel konvergieren. Die Konvergenzgeschwindigkeit beim babylonischen Wurzelziehen ist aber deutlich höher.

Korollar

Es sei $I$ ein reelles Intervall und $f : I \to ℝ$ eine stetige Funktion.

Dann ist auch das Bild $f (I)$ ein Intervall.

Beweis

Sei $J = f (I)$ . Aus dem Zwischenwertsatz folgt sofort, dass, wenn $y, z \in J$ sind und $u \in ℝ$ mit $y \leq u \leq z$ gegeben ist, auch $u \in J$ sein muss. Nach Aufgabe 6.10 ist $J$ ein Intervall.

◻

Stetige bijektive Funktionen und ihre Umkehrfunktion

Für eine bijektive stetige Funktion auf einem reellen Intervall ist die Umkehrabbildung wieder stetig. Dies ist keineswegs selbstverständlich.

Satz

Es sei $I \subseteq ℝ$ ein Intervall und

f : I ⟶ ℝ

eine stetige, streng wachsende Funktion.

Dann ist das Bild

$J := f (I) = {f (x) ∣ x \in I}$

ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung

$f^{- 1} : J ⟶ I$

ist ebenfalls stetig.

Beweis

Dass das Bild wieder ein Intervall ist folgt aus Korollar 13.4.
Die Funktion $f$ ist injektiv, da sie streng wachsend ist und damit ist die Abbildung

f : I ⟶ J

auf das Bild bijektiv.
Die Umkehrfunktion

f^{- 1} : J ⟶ I

ist ebenfalls streng wachsend.
Sei $g := f^{- 1}$ und $y := f (x)$ vorgegeben. Es sei zunächst $y$ kein Randpunkt von $J$ . Dann ist auch $x$ kein Randpunkt von $I$ . Sei $ϵ > 0$ vorgegeben und ohne Einschränkung $[x - ϵ, x + ϵ] \subseteq I$ angenommen. Dann ist

δ := min (y - f (x - ϵ), f (x + ϵ) - y) > 0

und für $y^{'} \in [y - δ, y + δ]$ gilt wegen der Monotonie

g (y^{'}) \in [g (y - δ), g (y + δ)] \subseteq [x - ϵ, x + ϵ] .

Also ist $g$ stetig in $y$ . Wenn $y$ ein Randpunkt von $J$ ist, so ist auch $x$ ein Randpunkt von $I$ , sagen wir der rechte Randpunkt. Dann ist zu vorgegebenem $ϵ > 0$ wieder $[x - ϵ, x] \subseteq I$ und $δ := y - f (x - ϵ)$ erfüllt die geforderte Eigenschaft.

◻

Stetigkeit der Wurzeln

Satz

Es sei $n \in ℕ_{+}$ . Für $n$ ungerade ist

die Potenzfunktion

$ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ x^{n},$

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

$ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ x^{1 / n},$

ist streng wachsend und stetig.

Für $n$ gerade ist die Potenzfunktion

ℝ_{\geq 0} ⟶ ℝ_{\geq 0}, x ⟼ x^{n},

stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion

ℝ_{\geq 0} ⟶ ℝ_{\geq 0}, x ⟼ x^{1 / n},

ist streng wachsend und stetig.

Beweis

Die Stetigkeit ergibt sich aus Korollar 12.7. Das strenge Wachstum für $x \geq 0$ folgt aus der allgemeinen binomischen Formel. Für ungerades $n$ folgt das strenge Wachstum für $x < 0$ aus der Beziehung $x^{n} = - (- x)^{n}$ und dem Verhalten im positiven Bereich. Daraus ergibt sich die Injektivität. Für $x \geq 1$ ist $x^{n} \geq x$ , woraus die Unbeschränktheit des Bildes nach oben folgt. Bei $n$ ungerade folgt ebenso die Unbeschränktheit des Bildes nach unten. Aufgrund des Zwischenwertsatzes ist das Bild daher $ℝ$ bzw. $ℝ_{\geq 0}$ . Somit sind die angegebenen Potenzfunktionen surjektiv und die Umkehrfunktionen existieren. Die Stetigkeit der Umkehrfunktionen folgt aus Satz 13.5.

◻

Minima und Maxima

Definition

Es sei $M$ eine Menge und

f : M ⟶ ℝ

eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x \in M$ das Maximum annimmt, wenn

f (x) \geq f (x^{'}) für alle x^{'} \in M gilt,

und dass $f$ das Minimum annimmt, wenn

f (x) \leq f (x^{'}) für alle x^{'} \in M gilt .

Die gemeinsame Bezeichnung für ein Maximum oder ein Minimum ist Extremum. In der vorstehenden Definition spricht man auch vom globalen Maximum, da darin Bezug auf sämtliche Elemente der Definitionsmenge genommen wird. Interessiert man sich nur für das Verhalten in einer offenen, eventuell kleinen Umgebung, so gelangt man zum Begriff des lokalen Maximums.

Definition

Es sei $D \subseteq ℝ$ eine Teilmenge und sei

f : D ⟶ ℝ

eine Funktion. Man sagt, dass $f$ in einem Punkt $x \in D$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein $ϵ > 0$ derart gibt, dass für alle $x^{'} \in D$ mit $| x - x^{'} | \leq ϵ$ die Abschätzung

f (x) \geq f (x^{'})

gilt. Man sagt, dass $f$ in $x \in D$ ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein $ϵ > 0$ derart gibt, dass für alle $x^{'} \in D$ mit $| x - x^{'} | \leq ϵ$ die Abschätzung

f (x) \leq f (x^{'})

gilt.

Wenn $f (x) > f (x^{'})$ für alle $x^{'} \neq x$ , so spricht man von einem isolierten Maximum. Mit der Differentialrechnung werden wir bald schlagkräftige Methoden kennenlernen, um Minima und Maxima zu bestimmen.

Satz

Es sei $[a, b] \subseteq ℝ$ ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei

f : [a, b] ⟶ ℝ

eine stetige Funktion.

Dann gibt es ein $x \in [a, b]$ mit

$f (x) \geq f (x^{'}) für alle x^{'} \in [a, b] .$

D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.

Beweis

Nach dem Zwischenwertsatz wissen wir, dass das Bild $J := f ([a, b])$ ein Intervall ist. Wir zeigen zunächst, dass $J$ (nach oben und nach unten) beschränkt ist. Wir nehmen dazu an, dass $J$ nicht nach oben beschränkt ist. Dann gibt es eine Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ in $I$ mit $f (x_{n}) \geq n$ . Nach Satz 7.7 besitzt ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ eine konvergente Teilfolge. Da $[a, b]$ abgeschlossen ist, gehört der Grenzwert der Teilfolge zu $[a, b]$ . Wegen der Stetigkeit muss dann auch die Bildfolge konvergieren. Die Bildfolge ist aber unbeschränkt, sodass sie nach Lemma 5.8 nicht konvergieren kann, und sich ein Widerspruch ergibt.

Es sei nun $y$ das Supremum von $J$ , das es nach Satz 7.5 gibt. Es gibt nach Aufgabe 6.21 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) eine Folge ${(y_{n})}_{n \in ℕ}$ in $J$ , die gegen das Supremum konvergiert. Nach Definition von $J$ gibt es eine Folge ${(x_{n})}_{n \in ℕ}$ mit $f (x_{n}) = y_{n}$ . Für diese Folge gibt es wieder nach Satz 7.7 eine konvergente Teilfolge. Es sei $x$ der Grenzwert dieser Teilfolge. Somit ist aufgrund der Stetigkeit $f (x) = y$ und daher $y \in J$ .