Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 20/latex

\setcounter{section}{20}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {I} {\R } {} \definitionsverweis {konvexe Funktionen}{}{.} Zeige, dass die Summe $f+g$ ebenfalls konvex ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn $-f$ konkav ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {I} {\R } {} \definitionsverweis {konvexe Funktionen}{}{.} Zeige durch Beispiele, dass die Differenz $f-g$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {I} {\R } {} \definitionsverweis {konvexe Funktionen}{}{.} Zeige durch Beispiele, dass das Produkt $fg$ konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine stetige Funktion auf einem Intervall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar \mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von $f$ verläuft.

}
{(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.)} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I \subseteq \R$ ein Intervall und \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine zweimal \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung
\mathl{f^{\prime \prime}(x) \geq 0}{} für alle
\mathl{x \in I}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $f \in \R[X]$ ein Polynom mit ungeradem Grad
\mathl{\geq 3}{.} Zeige, dass $f$ weder konvex noch konkav sein kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $\sum _{ n= 0}^\infty a_n z^{ n }$ eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} mit \definitionsverweis {Konvergenzradius}{}{} $R>0$. Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe $\sum_{n=1}^\infty na_n z^{n-1}$ ebenfalls $R$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { z^2 \cdot \exp \left( z^3-4z \right) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbdisp {\ln} {\R_+} {\R } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich $2 \%$. Nach welchem Zeitraum \zusatzklammer {in Jahren und Tagen} {} {} haben sich die Preise verdoppelt?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) } {,} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{} mit den Eigenschaften
\mathdisp {f'=f \text{ und } f(0)=1} { . }
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{\exp x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von $e^{ \mathrm i}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Sinus- und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} über ihre Potenzreihen \zusatzklammer {Satz 20.9} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Sinus- und der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} unter Verwendung von Satz 15.10  (4).

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die $1034871$-te \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Sinusfunktion}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = \cos ( \ln x ) } {.}

a) Bestimme die Ableitung $f'$.

b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{\prime \prime}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { ( \sin z )( \cos z ) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für $n \in \N$ die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { (\sin z )^n } {.}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sinh-cosh-r-28pt.svg} }
\end{center}
\bildtext {Der Verlauf der Hyperbelfunktionen im Reellen.} }

\bildlizenz { Sinh-cosh-r-28pt.svg } {} {Emdee} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

Die für $z \in {\mathbb C}$ durch
\mathdisp {\sinh z := \frac{1}{2}(e^z - e^{-z})} { }
definierte \definitionsverweis {Funktion}{}{} heißt \definitionswort {Sinus hyperbolicus}{.}

Die für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh z }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( e^z + e^{-z} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte \definitionsverweis {Funktion}{}{} heißt \definitionswort {Kosinus hyperbolicus}{.}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Eigenschaften von \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} und \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{} \zusatzklammer {dabei ist $z \in {\mathbb C}$.} {} {} \aufzaehlungvier{
\mathdisp {\cosh z+ \sinh z = e^z} { . }
}{
\mathdisp {\cosh z - \sinh z = e^{-z}} { . }
}{
\mathdisp {( \cosh z )^2 - ( \sinh z )^2 = 1} { . }
}{
\mathdisp {\cosh { \mathrm i} z = \cos z \text{ und } \sinh { \mathrm i} z = { \mathrm i} \cdot \sin z} { . }
}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} von \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} und \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {konvexe Funktion}{}{,} seien $x_1 , \ldots , x_n \in I$ und $t_1 , \ldots , t_n \in \R_{\geq 0}$ mit $\sum_{i=1}^n t_i=1$. Zeige die Jensensche Ungleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \sum_{i=1}^n t_i x_i \right) } }
{ \leq} { \sum_{i=1}^n t_i f (x_i) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Konvexitätsverhalten}{}{} und die \definitionsverweis {Wendepunkte}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { 2x^4-x^3-3x^2+7x+5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{,} die nicht linear sei. Zeige, dass $f$ weder konvex noch konkav sein kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{1}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} { \sin \left( \cos z \right) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R_+ } {\R } {x} { x^x } {.}

}
{} {}