Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 19

Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,$

die durch

$f(x)=\{\begin{array}{c}x-\lfloor x\rfloor ,\text{ falls }\lfloor x\rfloor \text{ gerade},\\ \lfloor x\rfloor -x+1,\text{ falls }\lfloor x\rfloor \text{ ungerade},\end{array}$

definiert ist. Untersuche $f$ in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.

Aufgabe *

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

$f:[-2,5]⟶ℝ,x⟼f(x)=2x^3-5x^2+4x-1.$

Aufgabe

Betrachte die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=4x^3+3x^2-x+2.$

Finde die Punkte  $a\in [-3,3]$  derart, dass die Steigung der Funktion in $a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen $-3$ und $3$ ist.

Aufgabe *

Es seien

$f,g:ℝ⟶ℝ$

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei $a\in ℝ$. Es gelte

$f(a)\ge g(a)\text{ und }{f}^{\prime }(x)\ge g^{\prime }(x)\text{ für alle }x\ge a.$

Zeige, dass

$f(x)\ge g(x)\text{ für alle }x\ge a\text{ gilt}.$

Aufgabe *

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

$f:ℝ⟶ℝ$

vom Grad $d\ge 1$ maximal $d-1$ lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd $f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe

Führe die Details im Beweis zu Satz 19.7 aus.

Aufgabe *

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,t⟼f(t)=t^2{e}^{-t}.$

Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

$f:{ℝ}_{+}⟶ℝ,x⟼f(x)=1+\ln x-\frac{1}{x}.$

a) Zeige, dass $f$ eine stetige Bijektion zwischen ${ℝ}_{+}$ und $ℝ$ definiert.

b) Bestimme das Urbild $u$ von $0$ unter $f$ sowie $f^{\prime }(u)$ und $(f^{-1}{)}^{\prime }(0)$. Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an.

Aufgabe *

Betrachte die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼f(x)=(2x+3)e^{-x^2}.$

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von $f$. Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Aufgabe *

Es sei

$f(x)=x^3+x-1.$

a) Zeige, dass die Funktion $f$ im reellen Intervall $[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl  $q\in [0,1]$  derart an, dass  $|f(q)|\le \frac{1}{10}$  ist.

Aufgabe

Es sei  $I\subseteq ℝ$  ein Intervall und es sei

$D(I,ℝ)=\{f:I\to ℝ\mid f\text{ differenzierbar}\}$

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass $D(I,ℝ)$ ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung

$D(I,ℝ)⟶\mathrm{Abb}(I,ℝ),f⟼f^{\prime },$

eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

${\lim }_{x\to 2}\frac{3x^2-5x-2}{x^3-4x^2+x+6}$

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel 19.9).

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

$\frac{x^3-2x^2+x+4}{x^2+x}$

im Punkt $-1$.

Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert von

$\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}$

im Punkt $1$, und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

$f:D⟶ℝ,x⟼f(x)=\frac{2x-3}{5x^2-3x+4},$

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion

$f:[-4,4]⟶ℝ,x⟼f(x)=3x^3-7x^2+6x-3.$

Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

$f:D⟶ℝ,x⟼f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{x-4},$

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraphen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine Polynomfunktion vom Grad $d\ge 1$. Es sei $m$ die Anzahl der lokalen Maxima von $f$ und $n$ die Anzahl der lokalen Minima von $f$. Zeige, dass bei $d$ ungerade $m=n$ und bei $d$ gerade $|m-n|=1$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

(mit $a,b,c,d\in ℝ$, $c\ne 0$), keine lokalen Extrema besitzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

$\frac{x^4+2x^3-3x^2+5x-5}{2x^3-x^2-4x+3}$

im Punkt $1$.