Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 19

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte die Funktion

die durch

definiert ist. Untersuche in Hinblick auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Extrema.


Aufgabe

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Aufgabe

Betrachte die Funktion

Finde die Punkte derart, dass die Steigung der Funktion in gleich der Durchschnittssteigung zwischen und ist.


Aufgabe *

Es seien

zwei differenzierbare Funktionen. Es sei . Es gelte

Zeige, dass


Aufgabe

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe

Führe die Details im Beweis zu Satz 19.7 aus.


Aufgabe *

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

a) Zeige, dass eine stetige Bijektion zwischen und definiert.

b) Bestimme das Urbild von unter sowie und . Fertige eine grobe Skizze für die Umkehrfunktion an.


Aufgabe *

Betrachte die Funktion

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.


Aufgabe *

Es sei

a) Zeige, dass die Funktion im reellen Intervall genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl derart an, dass ist.


Aufgabe

Es sei ein Intervall und es sei

die Menge der differenzierbaren Funktionen. Zeige, dass ein reeller Vektorraum ist und dass die Ableitung

eine lineare Abbildung ist. Bestimme den Kern dieser Abbildung und seine Dimension.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert

mittels Polynomdivision (vergleiche Beispiel 19.9).


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .


Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert von

im Punkt , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.


Aufgabe

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraph.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die lokalen und die globalen Extrema der Funktion


Aufgabe (4 Punkte)

Diskutiere den Funktionsverlauf der rationalen Funktion

hinsichtlich Definitionsbereich, Nullstellen, Wachstumsverhalten, (lokale) Extrema. Skizziere den Funktionsgraph.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Polynomfunktion vom Grad . Es sei die Anzahl der lokalen Maxima von und die Anzahl der lokalen Minima von . Zeige, dass bei ungerade und bei gerade ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine nichtkonstante rationale Funktion der Form

(mit ), keine lokalen Extrema besitzt.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .



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