Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 28/latex
\setcounter{section}{28}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'=2 \text{ mit } y (5) = 3} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^2-3t+4 \text{ mit } y(-1) = -5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= \sin t \text{ mit } y(\pi) = 7} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= 3t^3-2t+5 \text{ mit } y(3) = 4} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich anschaulich und mathematisch klar, dass bei einer
\definitionsverweis {ortsunabhängigen Differentialgleichung}{}{}
der Abstand zwischen zwei Lösungen
\mathkor {} {y_1} {und} {y_2} {}
zeitunabhängig ist, d.h. dass
\mathl{y_1(t)- y_2(t)}{}
\definitionsverweis {konstant}{}{}
ist.
Man gebe ein Beispiel, dass dies bei \definitionsverweis {zeitunabhängigen Differentialgleichungen}{}{} nicht der Fall sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die gewöhnlichen Differentialgleichungen, die sowohl zeit- als auch ortsunabhängig sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie sieht der \definitionsverweis {Graph}{}{} einer \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {\R \times \R} {\R } {} aus, die nur von einer Variablen abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde alle Lösungen zur
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe setzt Aufgabe 19.11 voraus.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(\R,\R)
}
{ =} { { \left\{ f:\R \rightarrow \R \mid f \text{ differenzierbar} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der
\definitionsverweis {differenzierbaren Funktionen}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
und die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
der
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
der
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\maabbeledisp {} {D(\R,\R)} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) }
} {f} {f'
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die Lösungen für die gewöhnliche Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {c y^{ { \frac{ 2 }{ 3 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{\R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{Finde eine inhaltliche Interpretation zu dieser Differentialgleichung analog zu
Beispiel 28.10.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mathl{y(x)=x^n}{}
\zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {}
eine Lösung der
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'
}
{ =} {n y^{ { \frac{ n-1 }{ n } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{\R_+}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
\mathl{y(t)}{}
\zusatzklammer {nicht die Nullfunktion} {} {,}
die die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y'(t)
}
{ =} {y(t-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt
\zusatzklammer {dabei ist \mathlk{y(t-1)}{} als der Wert der Funktion $y$ an der Stelle \mathlk{t-1}{} zu verstehen, nicht als das Produkt der Funktionsvariablen $y$ mit
\mathl{t-1}{;} es handelt sich also
\betonung{nicht}{} um eine Differentialgleichung} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die
\definitionsverweis {Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Löse damit das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime \prime} = y \text{ mit } y(0)=3 \text{ und } y^\prime (0) = -2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde einen zweidimensionalen Lösungsraum für die
\definitionsverweis {Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { -y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Löse damit das Anfangswertproblem
\mathdisp {y^{\prime \prime} = -y \text{ mit } y(0)=5 \text{ und } y^\prime (0) = 6} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge aller Lösungen der Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y^{(n)}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
einen $n$-dimensionalen reellen Vektorraum bilden.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde eine Lösung zur
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'
}
{ =} { y+t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y'= { \frac{ t^3 }{ t^2+1 } } \text{ mit } y(1) = 2} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse das Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y'(t)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sinh t } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{\R_+}{} mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y(1)
}
{ = }{ 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Finde alle polynomialen Lösungen der
\definitionsverweis {Differentialgleichung dritter Ordnung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime \prime}
}
{ =} { 9y -3t y' +y^{\prime \prime}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unendlich oft differenzierbare Funktionen
\maabbeledisp {f} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {f(z)
} {,}
derart gibt, dass die $n$-te Ableitung
\mathl{f^{(n)}}{} mit $f$ übereinstimmt, die Ableitungen
\mathbed {f^{(i)}} {}
{i < n} {}
{} {} {} {,}
aber nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Man gebe ein Beispiel einer stetigen, streng wachsenden Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R_+
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(0)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x+1)
}
{ = }{ 2f(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die von
\mathl{2^x}{} verschieden ist.
}
{} {}
<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I | >> |
---|