Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage
Für jede natürliche Zahl sei eine Aussage gegeben. Es gelte
- ist wahr.
- Für alle gilt: wenn gilt, so ist auch wahr.
Dann gilt für alle .
Es seien Elemente in einem Körper. Ferner sei eine natürliche Zahl.
Dann gilt
Es sei ein angeordneter Körper und eine natürliche Zahl. Dann gilt für jedes mit die Abschätzung
Es sei ein archimedisch angeordneter Körper.
Dann gibt es zwischen je zwei Elementen auch eine rationale Zahl (mit ) mit
Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in .
Dann besitzt maximal einen Grenzwert.
Es sei ein angeordneter Körper. Wenn eine Folge in konvergent ist,
so ist sie auch beschränkt.
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und konvergente Folgen in . Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Folge ist konvergent und es gilt
- Die Folge ist konvergent und es gilt
- Für
gilt
- Es sei
und
für alle
.
Dann ist ebenfalls konvergent mit
- Es sei
und
für alle
.
Dann ist ebenfalls konvergent mit
Es sei ein angeordneter Körper und es seien und drei Folgen in . Es gelte
und und konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert .
Dann konvergiert auch gegen diesen Grenzwert .
Eine beschränkte und monotone Folge in
konvergiert.
Es sei , , eine Intervallschachtelung in .
Dann besteht der Durchschnitt
.
Eine reelle Intervallschachtelung bestimmt also genau eine reelle Zahl.
Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen
besitzt ein Supremum in .
Es sei eine beschränkte Folge von reellen Zahlen.
Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge.
Die Intervalle , , mit den Grenzen
definieren eine Intervallschachtelung.
Es sei
eine konvergente Reihe von komplexen Zahlen.
Dann ist
Es sei eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen.
Dann konvergiert die Reihe .
Es sei eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und eine Folge komplexer Zahlen mit für alle .
Dann ist die Reihe
absolut konvergent.
Es sei
eine Reihe von komplexen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl mit und ein mit
für alle (Insbesondere sei für ).
Dann konvergiert die Reihe absolut.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es seien Polynome mit .
Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome mit
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom und .
Dann ist genau dann eine Nullstelle von , wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.
Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei ein Polynom () vom Grad .
Dann besitzt maximal Nullstellen.
Es sei eine endliche Menge mit Elementen und eine endliche Menge mit Elementen. Es sei .
Dann gibt es keine injektive Abbildung
Die Menge der rationalen Zahlen
ist abzählbar.
Die Menge der reellen Zahlen
ist nicht abzählbar.
Es sei eine Teilmenge,
eine Funktion und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist stetig im Punkt .
- Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .
Es seien und Teilmengen und
und
Funktionen mit . Dann gelten folgende Aussagen.
- Wenn in und in stetig ist, so ist auch die Hintereinanderschaltung in stetig.
- Wenn und stetig sind, so ist auch stetig.
Es sei und seien
stetige Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen
stetig. Für eine Teilmenge , auf der keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
stetig.
Es seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen und .
Dann gibt es ein mit .
Es sei ein Intervall und
eine stetige, streng wachsende Funktion.
Dann ist das Bild
ebenfalls ein Intervall, und die Umkehrabbildung
ist ebenfalls stetig.
Es sei . Für ungerade ist
die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Für gerade ist die Potenzfunktion
stetig, streng wachsend, bijektiv und die Umkehrfunktion
ist streng wachsend und stetig.
Es sei ein abgeschlossenes beschränktes Intervall und sei
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein mit
D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.
Eine stetige Funktion
auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall
ist gleichmäßig stetig.
Es sei eine Teilmenge und die Menge aller Berührpunkte von . Es sei
eine gleichmäßig stetige Funktion.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung
Es sei eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Exponentialfunktion
folgende Eigenschaften.
- Es ist für alle .
- Es ist .
- Für und ist .
- Für und ist .
- Für ist streng wachsend.
- Für ist streng fallend.
- Es ist für alle .
- Für ist .
Es seien
zwei absolut konvergente Reihen komplexer Zahlen.
Dann ist auch das Cauchy-Produkt absolut konvergent und für die Summe gilt
Für jedes ist die Exponentialreihe
absolut konvergent.
Für komplexe Zahlen gilt
Die Exponentialfunktion
- Es ist .
- Für jedes ist . Insbesondere ist .
- Für ganze Zahlen ist .
- Für reelles ist .
- Für reelle Zahlen ist und für ist .
- Die reelle Exponentialfunktion ist streng wachsend.
Die Funktionen
und
besitzen für folgende Eigenschaften.
- Für
ist
Speziell gilt die eulersche Formel
- Es ist und .
- Es ist und .
- Es ist
und
- Es gelten die Additionstheoreme
und
- Es gilt
Es sei
eine Teilmenge und es seieine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion konvergiert.
Dann ist stetig.
Es sei eine Menge und sei
Dann konvergiert die Reihe (also die Funktionenfolge ) gleichmäßig und punktweise absolut gegen eine Funktion
Es sei eine Folge komplexer Zahlen und . Die Potenzreihe
sei für eine komplexe Zahl , , konvergent.
Dann ist für jeden reellen Radius mit die Potenzreihe auf der abgeschlossenen Kreisscheibe punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.
Es sei
eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius .
Dann stellt die Potenzreihe auf der offenen Kreisscheibe eine stetige Funktion dar.
Für die (durch die Exponentialreihe definierte) reelle Exponentialfunktion
gilt
Es seien und Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien und derart, dass es ein gibt, dass die dadurch definierten Funktionen
übereinstimmen.
Dann ist für alle .
Es sei , , eine summierbare Familie von komplexen Zahlen mit der Summe . Es sei eine weitere Indexmenge und zu jedem sei eine Teilmenge gegeben mit und für .
Dann sind die Teilfamilien , , summierbar und für ihre Summen gilt, dass die Familie , , summierbar ist mit
Es sei
eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius und sei .
Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe
mit Entwicklungspunkt und mit einem Konvergenzradius derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf übereinstimmen.
Die Koeffizienten von sind
und insbesondere ist
Es sei offen, ein Punkt und
eine Funktion.
Dann ist in genau dann differenzierbar, wenn es ein und eine Funktion
gibt mit stetig in und und mit
Es sei offen, ein Punkt und
Funktionen, die in differenzierbar seien. Dann gelten folgende Differenzierbarkeitsregeln.
- Die Summe ist differenzierbar in mit
- Das Produkt ist differenzierbar in mit
- Für
ist auch in differenzierbar mit
- Wenn keine Nullstelle in besitzt, so ist differenzierbar in mit
- Wenn keine Nullstelle in besitzt, so ist differenzierbar in mit
Es seien und offene Mengen in und seien
und
Funktionen mit . Es sei in differenzierbar und sei in
differenzierbar.
Dann ist auch die Hintereinanderschaltung
in differenzierbar mit der Ableitung
Es seien und offene Mengen in und sei
eine bijektive stetige Funktion mit einer stetigen Umkehrfunktion
differenzierbar mit .
Dann ist auch die Umkehrfunktion in differenzierbar mit
Es sei offen und sei
eine Funktion, die in ein lokales Extremum besitze und dort differenzierbar sei.
Dann ist
Es sei und sei
eine stetige, auf differenzierbare Funktion.
Dann gibt es ein mit
Es sei
eine differenzierbare Funktion mit für alle .
Dann ist konstant.
Es sei ein offenes Intervall und
eine differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Funktion ist genau dann auf wachsend (bzw. fallend), wenn (bzw. ) für alle ist.
- Wenn für alle ist und nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist streng wachsend.
- Wenn für alle ist und nur endlich viele Nullstellen besitzt, so ist streng fallend.
Es sei und seien
stetige, auf differenzierbare Funktionen mit
für alle .
Dann ist und es gibt ein mit
Es sei ein offenes Intervall und ein Punkt. Es seien
stetige Funktionen, die auf differenzierbar seien mit und mit für . Es sei vorausgesetzt, dass der Grenzwert
existiert.
Dann existiert auch der Grenzwert
und sein Wert ist ebenfalls .
Es sei ein Intervall und
eine differenzierbare Funktion.
Dann ist genau dann eine konvexe (konkave) Funktion, wenn die Ableitung wachsend (fallend) ist.
Es sei
eine konvexe Funktion, seien und mit .
Dann ist
Es sei
konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius .
Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe dargestellte Funktion ist in jedem Punkt differenzierbar mit
Die Exponentialfunktion
ist differenzierbar mit
Es sei .
Dann ist die Funktion
differenzierbar und ihre Ableitung ist
Für die eulersche Zahl gilt die Gleichheit
Die Sinusfunktion
ist differenzierbar mit
und die
Kosinusfunktionist differenzierbar mit
Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in folgende Periodizitätseigenschaften.
- Es ist und für alle .
- Es ist und für alle .
- Es ist und für alle .
- Es ist , , und . Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form , .
- Es ist , , , und . Die Nullstellen des Sinus sind von der Form , .
Die reelle Sinusfunktion
induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion
und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion
Die komplexe Exponentialfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften.
- Es ist .
- Es ist genau dann, wenn für ein ist.
- Es ist genau dann, wenn für ein ist.
Zu jeder komplexen Zahl , ,
gibt es eine eindeutige Darstellung
mit und mit .
Es sei eine komplexe Zahl und .
Dann gibt es eine komplexe Zahl mit
Es sei .
Die Nullstellen des Polynoms über sind
In gilt die Faktorisierung
Es sei ein reelles Intervall,
eine -mal differenzierbare Funktion und ein innerer Punkt des Intervalls.
Dann gibt es zu jedem Punkt ein mit
Dabei kann zwischen und gewählt werden.
Es sei ein beschränktes abgeschlossenes Intervall,
eine -mal stetig differenzierbare Funktion, ein innerer Punkt und .
Dann gilt zwischen und dem -ten Taylor-Polynom die Fehlerabschätzung
Es sei ein reelles Intervall,
eine -mal stetig differenzierbare Funktion, und ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte
- Wenn gerade ist, so besitzt in kein lokales Extremum.
- Es sei ungerade. Bei besitzt in ein isoliertes lokales Minimum.
- Es sei ungerade. Bei besitzt in ein isoliertes lokales Maximum.
Es sei ein reelles Intervall und sei
eine stetige Funktion.
Dann ist Riemann-integrierbar.
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein mit
Es sei ein reelles Intervall und sei
eine stetige Funktion. Es sei und es sei
die zugehörige Integralfunktion.
Dann ist differenzierbar und es gilt
für alle .
Es sei ein reelles Intervall und sei
eine stetige Funktion.
Dann besitzt eine Stammfunktion.
Es sei ein reelles Intervall und sei
eine stetige Funktion, für die eine Stammfunktion sei.
Dann gilt für die Gleichheit
Es sei
eine in konvergente Potenzreihe.
Dann ist die Potenzreihe
ebenfalls in konvergent und stellt dort eine Stammfunktion für dar.
Es seien
stetig differenzierbare Funktionen.
Dann gilt
Es sei eine bijektive differenzierbare Funktion und es sei eine Stammfunktion von .
Dann ist
eine Stammfunktion der Umkehrfunktion .
Es sei ein reelles Intervall und sei
eine stetige Funktion. Es sei
stetig differenzierbar.
Dann gilt
Es sei (mit ) ein quadratisches Polynom ohne reelle Nullstelle (d.h., dass ist).
Dann ist
eine Stammfunktion von
und für gilt die Rekursionsformel
Es seien , , Polynome und es sei
mit verschiedenen .
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom und eindeutig bestimmte Koeffizienten , , , mit
Es seien , , Polynome und es sei
mit verschiedenen und verschiedenen quadratischen Polynomen ohne reelle Nullstellen.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom und eindeutig bestimmte Koeffizienten , , , und eindeutig bestimmte lineare Polynome , , , mit
Es sei eine rationale Funktion in der Exponentialfunktion, d.h. es gebe Polynome , , derart, dass
gilt.
Dann kann man durch die Substitution das Integral auf das Integral einer rationalen Funktion zurückführen.
Es sei eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen und gegeben, d.h. es gebe zwei Polynome und in zwei Variablen mit derart, dass
gilt.
Dann führt die Substitution
das Integral
auf das Integral einer rationalen Funktion zurück.
Es sei eine rationale Funktion in und in (mit und so, dass auch positive Werte annimmt), schreiben kann, d.h. es gebe Polynome in zwei Variablen, , , derart, dass
gilt.
Dann kann man durch eine Substitution der Form
(), die Berechnung von auf ein Integral der Form
- ,
- ,
- ,
zurückführen, wobei wieder eine rationale Funktion in zwei Variablen ist.
In diesen drei Fällen führen die Substitutionen
- ,
- ,
- ,
auf das Integral über eine rationale Funktion in trigonometrischen Funktionen bzw. in Hyperbelfunktionen
Es sei
eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen
und
wobei keine Nullstelle besitze. Es sei eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Weiter sei ein Teilintervall mit .
Dann ist eine bijektive Funktion auf sein Bild und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form
Wenn zusätzlich die Anfangsbedingung
gegeben ist, und wenn die Stammfunktionen die zusätzlichen Eigenschaften und erfüllen, so ist
die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems.
Es sei
eine zeitunabhängige Differentialgleichung mit einer
stetigen Funktionohne Nullstelle. Es sei eine Stammfunktion von mit der Umkehrfunktion
Dann sind die Funktionen
die Lösungen dieser Differentialgleichung auf dem Intervall .