Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 56/latex

\setcounter{section}{56}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise den \stichwort {Hauptsatz der Infinitesimalrechnung} {} für \definitionsverweis {stetige Kurven}{}{} \maabbdisp {g} {I} {V } {,} wobei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} sei.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I \times U} {V } {} ein \definitionsverweis {stetiges}{}{} \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{,} das auf einer \definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
\mathl{U \subseteq V}{} eines \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraums}{}{} definiert sei und \definitionsverweis {lokal einer Lipschitz-Bedingung}{}{} genüge. Es sei
\mathl{W \subseteq V}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} mit der Eigenschaft, dass für alle
\mathl{t \in I}{} und
\mathl{P \in U \cap W}{} die Beziehung
\mathl{f(t,P) \in W}{} gilt. Zeige, dass eine \definitionsverweis {Lösung des Anfangswertproblems}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ mit } v(t_0)=w \in U \cap W} { }
ganz in $W$ verläuft.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die ersten drei Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y' }
{ =} {y^2+t+yt^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mathl{y(0)=0}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die ersten vier Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} -t & t^2 \\ 2 & t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)=1} {und} {y(0)=-1} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in Beispiel 56.4 eine explizite Formel für die Iterationen $\varphi_n$.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{G \subseteq \R^m}{} offen und \maabbdisp {\varphi} {G} {\R^n } {} eine in $P \in G$ \definitionsverweis {total differenzierbare Abbildung}{}{} mit \definitionsverweis {injektivem}{}{} \definitionsverweis {totalen Differential}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {offene Umgebung}{}{} $U$ von $P$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(\varphi(P)) \cap U }
{ = }{ \{P\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {Tipp: Betrachte das totale Differential auf der Einheitssphäre. Der Satz über die injektive Abbildung ist hier nicht anwendbar.}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \times \R^2} {\R^2 } {(t,u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2) } {.} Bestimme für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die nicht-\definitionsverweis {regulären}{}{} Punkte des Vektorfeldes \maabbeledisp {f_t} {\R^2} {\R^2 } {(u,v)} {(t^2uv,u^2-tv^2) } {.} Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Löse das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {v'=f(t,v) \text{ und } v(1)= (3,2,6)} { }
zum \definitionsverweis {ortsunabhängigen Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {\R \times \R^3} {\R^3 } {(t,x,y,z)} { t^3(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^2 e^t )(0,4,5)+(2,2,2) } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die ersten vier Iterationen in der \definitionsverweis {Picard-Lindelöf-Iteration}{}{} für die \definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} t^2 & -1 \\ t & t^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung \mathkor {} {x(0)=1} {und} {y(0)=1} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $T$ eine Menge und \maabbdisp {f_n} {T} {\R^m } {} eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass $f_n$ genau dann gegen eine \definitionsverweis {Grenzabbildung}{}{} \maabbdisp {f} {T} {\R^m } {} \definitionsverweis {gleichmäßig konvergiert}{}{,} wenn die \definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{}
\mathl{(f_i)_n}{} \definitionsverweis {gleichmäßig}{}{} gegen $f_i$ konvergieren.

}
{} {}