Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 56

Übungsaufgaben

Aufgabe

Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven

$g\colon I\longrightarrow V,$

wobei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.

Aufgabe

Es sei

$f\colon I\times U\longrightarrow V$

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge ${}U\subseteq V$ eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei ${}W\subseteq V$ ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle ${}t\in I$ und ${}P\in U\cap W$ die Beziehung ${}f(t,P)\in W$ gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ mit }}v(t_{0})=w\in U\cap W$

ganz in ${}W$ verläuft.

Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=y^{2}+t+yt^{2}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}y(0)=0$.

Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}-t&t^{2}\\2&t\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=1$ und ${}y(0)=-1$.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 56.4 eine explizite Formel für die Iterationen ${}\varphi _{n}$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offen und

$\varphi \colon G\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine in ${}P\in G$ total differenzierbare Abbildung mit injektivem totalen Differential. Zeige, dass es eine offene Umgebung ${}U$ von ${}P$ mit ${}\varphi ^{-1}(\varphi (P))\cap U=\{P\}$ gibt.

Tipp: Betrachte das totale Differential auf der Einheitssphäre. Der Satz über die injektive Abbildung ist hier nicht anwendbar.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,u,v)\longmapsto (t^{2}uv,u^{2}-tv^{2}).$

Bestimme für jedes ${}t\in \mathbb {R}$ die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes

$f_{t}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(u,v)\longmapsto (t^{2}uv,u^{2}-tv^{2}).$

Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(1)=(3,2,6)$

zum ortsunabhängigen Vektorfeld

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(t,x,y,z)\longmapsto t^{3}(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^{2}e^{t})(0,4,5)+(2,2,2).$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t^{2}&-1\\t&t^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}x(0)=1$ und ${}y(0)=1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}T$ eine Menge und

$f_{n}\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass ${}f_{n}$ genau dann gegen eine Grenzabbildung

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

gleichmäßig konvergiert, wenn die Komponentenfunktionen ${}(f_{i})_{n}$ gleichmäßig gegen ${}f_{i}$ konvergieren.