Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 56

Übungsaufgaben

Aufgabe

Formuliere und beweise den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung für stetige Kurven

$g:I⟶V,$

wobei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum sei.

Aufgabe

Es sei

$f:I\times U⟶V$

ein stetiges Vektorfeld, das auf einer offenen Menge $U\subseteq V$ eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums definiert sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Es sei $W\subseteq V$ ein Untervektorraum mit der Eigenschaft, dass für alle $t\in I$ und $P\in U\cap W$ die Beziehung $f(t,P)\in W$ gilt. Zeige, dass eine Lösung des Anfangswertproblems

$v^{\prime }=f(t,v)\text{ mit }v(t_0)=w\in U\cap W$

ganz in $W$ verläuft.

Aufgabe *

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die gewöhnliche Differentialgleichung

$y^{\prime }=y^2+t+y{t}^2$

mit der Anfangsbedingung $y(0)=0$.

Aufgabe

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}-t& t^2\\ 2& t\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

mit der Anfangsbedingung $x(0)=1$ und $y(0)=-1$.

Aufgabe

Bestimme in Beispiel 56.4 eine explizite Formel für die Iterationen ${\phi }_n$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei $G\subseteq {ℝ}^m$ offen und

$\phi :G⟶{ℝ}^n$

eine in $P\in G$ total differenzierbare Abbildung mit injektivem totalen Differential. Zeige, dass es eine offene Umgebung $U$ von $P$ mit  ${\phi }^{-1}(\phi (P))\cap U=\{P\}$  gibt.

Tipp: Betrachte das totale Differential auf der Einheitssphäre. Der Satz über die injektive Abbildung ist hier nicht anwendbar.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

$f:ℝ\times {ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(t,u,v)⟼(t^{2}uv,u^2-t{v}^2).$

Bestimme für jedes  $t\in ℝ$  die nicht-regulären Punkte des Vektorfeldes

$f_t:{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,(u,v)⟼(t^{2}uv,u^2-t{v}^2).$

Welche Ortspunkte sind zu keinem Zeitpunkt regulär?

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$v^{\prime }=f(t,v)\text{ und }v(1)=(3,2,6)$

zum ortsunabhängigen Vektorfeld

$f:ℝ\times {ℝ}^3⟶{ℝ}^3,(t,x,y,z)⟼t^3(3,1,4)-e^{-2t}(2,-1,7)+(t-t^2{e}^t)(0,4,5)+(2,2,2).$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ersten vier Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{t}^2& -1\\ t& t^3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

mit der Anfangsbedingung $x(0)=1$ und $y(0)=1$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $T$ eine Menge und

$f_n:T⟶{ℝ}^m$

eine Folge von Abbildungen. Zeige, dass $f_n$ genau dann gegen eine Grenzabbildung

$f:T⟶{ℝ}^m$

gleichmäßig konvergiert, wenn die Komponentenfunktionen $(f_i{)}_n$ gleichmäßig gegen $f_i$ konvergieren.