Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/Arbeitsblatt 57
- Übungsaufgaben
Skizziere die Höhenlinien und das Gradientenfeld zur Funktion
Der Body-Mass-Index wird bekanntlich über die Abbildung
berechnet, wobei für die Masse und für die Länge eines Menschen (oder eines Tieres, einer Pflanze, eines Gebäudes) steht (in den Einheiten Kilogramm und Meter).
- Für welche Punkte ist diese Abbildung regulär?
- Skizziere das zugehörige Gradientenfeld.
- Wenn man seinen Body-Mass-Index verringern möchte, und dabei dem Gradienten dieser Abbildung vertraut, sollte man dann besser abnehmen oder größer werden? Inwiefern hängt dies vom Punkt, inwiefern von den gewählten Einheiten ab?
- Wie lassen sich die Fasern dieser Abbildung als Graphen von Funktionen beschreiben?
- Berechne die Hesse-Matrix von und bestimme ihren Typ in jedem Punkt.
- Zu welchen Daten wird das Maximum bzw. das Minimum des Body-Mass-Index angenommen, wenn man ihn auf einschränkt, und welche Werte besitzt er dann?
- Modelliere die Abbildung, die den Menschen aus einer Menge ihren Body-Mass-Index zuordnet, mittels Messungen, Produktabbildung und Hintereinanderschaltung.
Es sei
ein Gradientenfeld und sei
( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.
Es sei
versehen mit der durch die Supremumsnorm gegebenen Metrik. Zeige, dass die Ableitung
keine starke Kontraktion ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld
Zeige direkt, dass dieses Vektorfeld stetig ist, aber nicht lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei
eine Linearform. Bestimme das zugehörige Gradientenfeld und die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichung.
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
- Aufgabe zum Hochladen
Aufgabe * (5 Punkte)
Fertige eine Illustration zu Beispiel 57.6 an.
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