Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 81/latex
\setcounter{section}{81}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {DBP_1962_385_Wohlfahrt_Schneewittchen.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen.jpg } {Börnsen} {NobbiP} {Commons} {gemeinfrei} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.}
Zeige, dass auf der Menge der
\zusatzklammer {geordneten} {} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
die
\definitionsverweis {Orientierungsgleichheit}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist, die bei
\mathl{V \neq 0}{} aus genau zwei
\definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{}
besteht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V \neq 0$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einer
\definitionsverweis {
Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{.} Zeige, dass wenn man einen Vektor $v_i$ durch sein Negatives $-v_i$ ersetzt, dass dann die neue Basis die
\definitionsverweis {
entgegengesetzte Orientierung}{}{} repräsentiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V$ und $W$ zwei
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
\definitionsverweis {orientierte}{}{}
\definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {orientierungstreu}{}{}
ist, wenn es eine die
\definitionsverweis {Orientierung}{}{} auf $V$ repräsentierende
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} gibt, deren Bildvektoren
\mathl{\varphi(v_1) , \ldots , \varphi(v_n)}{} die Orientierung auf $W$ repräsentieren.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob die beiden
\definitionsverweis {Basen}{}{}
des $\R^2$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\7 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
repräsentieren oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob die beiden Basen des $\R^3$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ -3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\7\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -4 \\5\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -6 \\0\\ 11 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
repräsentieren oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} x \\5\\ 7 \end{pmatrix}} { . }
a) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des $\R^3$ repräsentieren?
b) Wie muss man $x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M_1} {und} {M_2} {}
\definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeiten}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathl{M_1 \times M_2}{} eine orientierte Mannigfaltigkeit ist
\zusatzklammer {wobei die Orientierung von der Ordnung auf \mathlk{\{1,2\}}{} abhängt} {} {.}
}
{} {}
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeiten}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{.}
Diese heißt $\varphi$ \definitionswort {orientierungstreu}{,} wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabbdisp {T\varphi} { T_PM } { T_{\varphi(P)} N
} {}
bijektiv und
\definitionsverweis {orientierungstreu}{}{}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {antipodale Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {S^1} {S^1 } {P} {-P } {,} \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine \definitionsverweis {orientierte Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass die Vertauschungsabbildung \maabbeledisp {\varphi} {M \times M} {M \times M } {(P,Q)} {(Q,P) } {,} bezüglich der jeweiligen \definitionsverweis {Produktorientierungen}{}{} nicht \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,} der nur aus \definitionsverweis {endlich vielen}{}{} Elementen bestehe. Zeige, dass $X$ \definitionsverweis {kompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y_1 , \ldots , Y_n
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {kompakte Teilmengen}{}{.}
Zeige, dass auch die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Y
}
{ = }{ \bigcup_{i = 1}^n Y_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {kompakter Raum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmenge}{}{,}
die die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
trage. Zeige, dass $Y$ ebenfalls kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {\R} {S^1 } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen \definitionsverweis {Intervall}{}{} oder zu $S^1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {f} {S^1} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zu einem abgeschlossenen \definitionsverweis {Intervall}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} $\R$ nicht \definitionsverweis {überdeckungskompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die \definitionsverweis {natürlichen Zahlen}{}{} $\N$ und versehen sie mit der \definitionsverweis {diskreten Metrik}{}{.} Zeige, dass $\N$ \definitionsverweis { abgeschlossen}{}{} und \definitionsverweis {beschränkt}{}{,} aber nicht \definitionsverweis { überdeckungskompakt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {kompakter}{}{} \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass $X$ \definitionsverweis { vollständig}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x^2+y^4+z^6 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine kompakte topologische $d$-dimensionale Mannigfaltigkeit,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine stetige surjektive Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {U} {M
} {}
gibt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme, ob die beiden Basen des $\R^3$,
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\4\\ -5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\6\\ -1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ -3 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -3 \\6\\ 2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -4 \\4\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\0\\ 13 \end{pmatrix}} { , }
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
repräsentieren oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{.} Zeige, dass es auf $V$, aufgefasst als \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{,} eine natürliche \definitionsverweis {Orientierung}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die $1$-Sphäre $S^1$ eine \definitionsverweis {orientierbare}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Antipodenabbildung}{}{} \maabbeledisp {} {S^2} {S^2 } {(x,y,z)} {(-x,-y,-z) } {,} nicht \definitionsverweis {orientierungstreu}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorffraum}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Y
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge, die die
\definitionsverweis {induzierte Topologie}{}{}
trage. Es sei $Y$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Zeige, dass $Y$
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
in $X$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}
Es sei $X$
\definitionsverweis {kompakt}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(X)
}
{ \subseteq }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls kompakt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ und sei das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V^n
}
{ = }{ V \times \cdots \times V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Produkttopologie}{}{}
versehen. Es sei $I$ ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {I} {V^n
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(t)
}
{ =} { (\varphi_1(t), \varphi_2(t) , \ldots , \varphi_n(t))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen
\mathbed {\varphi(t)} {}
{t \in I} {}
{} {} {} {,}
die gleiche
\definitionsverweis {Orientierung}{}{}
auf $V$ repräsentieren.
}
{} {}
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