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Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 80

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Aufwärmaufgaben
Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!



Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.


Die in der folgenden Aufgabe konstruierte Basis des Dualraums heißt Dualbasis.


Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Basis . Es sei

der Dualraum zu . Zeige, dass auf die Koordinatenfunktionen , die durch

definiert sind, eine Basis von bilden.



Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es seien . Zeige, dass die Abbildung

multilinear und alternierend ist.



Es sei

die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.



Betrachte Geschenkpapier. Auf welche Arten kann man das Papier zerschneiden und/oder verkleben, so, dass eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit entsteht. Sollte der Rand des Papiers dazu gehören oder nicht? Welche entstehenden Mannigfaltigkeiten sind zusammenhängend, welche kompakt? Wie entsteht ein Möbius-Band? Welche Möglichkeiten gibt es, wenn man endlich viele Ausnahmepunkte erlaubt, in denen keine Mannigfaltigkeitsstruktur vorliegt?

Wende die Theorie an, um möglichst originelle Verpackungen zu konstruieren. Verschnüre diese mit geeigneten eindimensionalen Mannigfaltigkeiten.



Zeige, dass die Antipodenabbildung

ein fixpunktfreier Diffeomorphismus ist, der zu sich selbst invers ist.



Zeige, dass die Abbildung

ein fixpunktfreier Diffeomorphismus ist, der zu sich selbst invers ist.



Zeige, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension unendlich viele Diffeomorphismen

besitzt.



Die Einheitssphäre bewege sich in einer Sekunde vollständig (vom Nordpol aus gesehen gegen den Uhrzeigersinn) um die Polachse. Welche differenzierbare Kurve und welcher Tangentialvektor an einen Punkt gehört zu dieser Bewegung? Beschreibe das zugehörige Vektorfeld



Man entwickle die Grundzüge einer Theorie der „komplexen Mannigfaltigkeiten“. Was ist die zugrunde liegende reelle Mannigfaltigkeit, was ist die (komplexe/reelle) Dimension, wie sieht der Tangentialraum aus?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.



Aufgabe (4 Punkte)

Drücke das Dachprodukt

in der Standardbasis von aus.



Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten das zweite Dachprodukt mit der Standardbasis , , und der zugehörigen Dualbasis . Zeige, dass die Funktion

die Eigenschaft besitzt, dass mit dem Flächeninhalt des von und im aufgespannten Parallelogramms übereinstimmt.



Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung. Bestimme die Matrix zu bezüglich der Standardbasen der Dachprodukte.



Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es seien . Zeige, dass es zu jedem eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

mit gibt.



Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Basis

von und die dadurch induzierte Basis

von . Bestimme die Übergangsmatrizen (in beide Richtungen) zwischen der Basis und der Standardbasis .




Aufgabe zum Hochladen

Aufgabe * (10 Punkte)

Erstelle eine Animation, die Aufgabe 79.8 illustriert.



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