Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 81

Aufwärmaufgaben

Datei:DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen.jpg

Aufgabe

Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass auf der Menge der (geordneten) Basen die Orientierungsgleichheit eine Äquivalenzrelation ist, die bei ${}V\neq 0$ aus genau zwei Äquivalenzklassen besteht.

Aufgabe

Es sei ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Zeige, dass wenn man einen Vektor ${}v_{i}$ durch sein Negatives ${}-v_{i}$ ersetzt, dass dann die neue Basis die entgegengesetzte Orientierung repräsentiert.

Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann orientierungstreu ist, wenn es eine die Orientierung auf ${}V$ repräsentierende Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gibt, deren Bildvektoren ${}\varphi (v_{1}),\ldots ,\varphi (v_{n})$ die Orientierung auf ${}W$ repräsentieren.

Aufgabe *

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{2}$,

${\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\7\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe *

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{3}$,

${\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\3\\-5\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\7\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\5\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-6\\0\\11\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe *

Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}x\\5\\7\end{pmatrix}}.$

a) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{3}$ repräsentieren?

b) Wie muss man ${}x$ wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?

Aufgabe

Es seien ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ orientierte Mannigfaltigkeiten. Zeige, dass das Produkt ${}M_{1}\times M_{2}$ eine orientierte Mannigfaltigkeit ist (wobei die Orientierung von der Ordnung auf $\{1,2\}$ abhängt).

Es seien ${}M$ und ${}N$ orientierte Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Diese heißt ${}\varphi$ orientierungstreu, wenn für jeden Punkt ${}P\in M$ die Tangentialabbildung

$T\varphi \colon T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N$

bijektiv und orientierungstreu ist.

Aufgabe

Zeige, dass die antipodale Abbildung

$\varphi \colon S^{1}\longrightarrow S^{1},\,P\longmapsto -P,$

orientierungstreu ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine orientierte Mannigfaltigkeit. Zeige, dass die Vertauschungsabbildung

$\varphi \colon M\times M\longrightarrow M\times M,\,(P,Q)\longmapsto (Q,P),$

bezüglich der jeweiligen Produktorientierungen nicht orientierungstreu sein muss.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, der nur aus endlich vielen Elementen bestehe. Zeige, dass ${}X$ kompakt ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und es seien ${}Y_{1},\ldots ,Y_{n}\subseteq X$ kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung ${}Y=\bigcup _{i=1}^{n}Y_{i}$ kompakt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein kompakter Raum und es sei ${}Y\subseteq X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ${}Y$ ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1}$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von ${}f$ homöomorph zu einem offenen, einem halboffenen, einem abgeschlossenen Intervall oder zu ${}S^{1}$ ist.

Aufgabe

Es sei

$f\colon S^{1}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Abbildung. Zeige, dass das Bild von ${}f$ homöomorph zu einem abgeschlossenen Intervall ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ nicht überdeckungskompakt ist.

Aufgabe

Wir betrachten die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ und versehen sie mit der diskreten Metrik. Zeige, dass ${}\mathbb {N}$ abgeschlossen und beschränkt, aber nicht überdeckungskompakt ist.

Aufgabe *

Es sei ${}X$ ein kompakter metrischer Raum. Zeige, dass ${}X$ vollständig ist.

Aufgabe *

Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{4}+z^{6}=1\right\}}\,$

eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine kompakte topologische ${}d$-dimensionale Mannigfaltigkeit, ${}d\geq 1$. Zeige, dass es eine beschränkte offene Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ und eine stetige surjektive Abbildung

$\varphi \colon U\longrightarrow M$

gibt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ${}\mathbb {R} ^{3}$,

${\begin{pmatrix}2\\4\\-5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\6\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\-3\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}-3\\6\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\4\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\0\\13\end{pmatrix}},$

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Zeige, dass es auf ${}V$, aufgefasst als reellen Vektorraum, eine natürliche Orientierung gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die ${}1$-Sphäre ${}S^{1}$ eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass die Antipodenabbildung

$S^{2}\longrightarrow S^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (-x,-y,-z),$

nicht orientierungstreu ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}X$ ein Hausdorffraum und es sei ${}Y\subseteq X$ eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei ${}Y$ kompakt. Zeige, dass ${}Y$ abgeschlossen in ${}X$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}X$ kompakt. Zeige, dass das Bild ${}\varphi (X)\subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum der Dimension ${}n$ und sei das Produkt ${}V^{n}=V\times \cdots \times V$ mit der Produkttopologie versehen. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und

$\varphi \colon I\longrightarrow V^{n}$

eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass

${}\varphi (t)=(\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t),\ldots ,\varphi _{n}(t))\,$

für jedes ${}t\in I$ eine Basis von ${}V$ ist. Zeige, dass sämtliche Basen ${}\varphi (t)$, ${}t\in I$, die gleiche Orientierung auf ${}V$ repräsentieren.