Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Arbeitsblatt 82

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel ${}T^{*}M$. Zeige, dass man auf ${}\bigwedge ^{k}T^{*}M$ für jedes ${}k$ eine Topologie erklären kann, bei der für jede Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ die Abbildung

$\bigwedge ^{k}T^{*}U\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}V\cong V\times \bigwedge ^{k}\mathbb {R} ^{n*}$

eine Homöomorphie ist.

Damit kann man von stetigen und auch von messbaren Differentialformen sprechen.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}C^{2}$- differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel ${}T^{*}M$. Zeige, dass ${}\bigwedge ^{k}T^{*}M$ für jedes ${}k$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Damit kann man auch von stetig differenzierbaren Differentialformen sprechen. Allgemeiner gilt: Wenn ${}M$ eine ${}C^{m}$- Mannigfaltigkeit und ${}\ell <m$ ist, so bezeichnet man mit ${}{\mathcal {E}}_{\ell }^{k}(U)$ die Menge der ${}\ell$-fach stetig differenzierbaren ${}k$-Differentialformen.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}{\mathcal {E}}^{k}(M)$ die Menge der ${}k$- Formen auf ${}M$. Zeige, dass ${}{\mathcal {E}}^{k}(M)$ ein ${}R$- Modul zu ${}R=C^{0}(M,\mathbb {R} )$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, ${}P\in M$ ein Punkt und ${}f\in C^{1}(M,\mathbb {R} )$ eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei ${}v\in T_{P}M$ ein Tangentialvektor, der durch einen differenzierbaren Weg

$\gamma \colon {]{-\delta },\delta [}\longrightarrow M$

mit ${}\gamma (0)=P$ repräsentiert werde. Zeige die Gleichheit

${}(df)(P,v)=(f\circ \gamma )'(0)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}i:M\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit. Zeige, dass für eine differenzierbare Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

die Beziehung

${}i^{*}(df)=d(f\circ i)\,$

gilt.

Aufgabe *

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},xy-z^{3}).$

Berechne die Matrix der Abbildung

$\bigwedge ^{2}T_{P}(\varphi )\colon \bigwedge ^{2}T_{P}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}$

im Punkt ${}P=(1,3,5)$ bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(u,v)\longmapsto (u^{2},v^{3}-u),$

und die ${}2$- Differentialform

${}\omega ={\frac {1}{x^{2}+y^{2}}}dx\wedge dy\,.$

Bestimme die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$.

Aufgabe

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto f(t),$

eine stetig differenzierbare Funktion und es sei ${}\omega =g(s)ds$ eine ${}1$- Differentialform auf ${}\mathbb {R}$. Bestimme ${}f^{*}\omega$.

Aufgabe *

Berechne die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\tau$ zu

${}\tau =dx\wedge dy\wedge dz-wdx\wedge dy\wedge dw+\cos(xy)dx\wedge dz\wedge dw-ywdy\wedge dz\wedge dw\,$

unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{4},\,(r,s,t)\longmapsto (r^{2}s,t,\sin r,e^{st})=(x,y,z,w).$

Aufgabe *

Es sei

$\psi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, es sei

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion auf ${}M$ und ${}\omega$ eine ${}k$- Form auf ${}M$. Zeige

${}\psi ^{*}(f\omega )=\psi ^{*}(f)\psi ^{*}\omega \,.$

Aufgabe *

Es seien ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen und sei

$\psi \colon W\longrightarrow U$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei

$f\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion. Folgere aus der Kettenregel, dass

${}d(\psi ^{*}f)=\psi ^{*}(df)\,$

gilt, wobei ${}\psi ^{*}$ das Zurückziehen von Differentialformen bezeichnet.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit dem Kotangentialbündel ${}T^{*}M$. Es sei ${}\omega$ eine ${}k$- Differentialform, also eine Abbildung

$\omega \colon M\longrightarrow \bigwedge ^{k}T^{*}M$

mit ${}\omega (P)\in \bigwedge ^{k}T_{P}^{*}M$ für alle ${}P\in M$, wobei dieses Dachprodukt mit der natürlichen Topologie (siehe Aufgabe 82.1) versehen sei. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\omega$ ist stetig.
2. Für jede Karte ${}\alpha \colon U\rightarrow V$ mit ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und mit der lokalen Darstellung ${}\alpha _{*}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{J}dx_{J}$ sind die Funktionen ${}f_{J}$ stetig.
3. Es gibt eine offene Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit Kartengebieten ${}U_{i}$ derart, dass in den lokalen Darstellungen ${}\alpha _{i*}\omega =\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}f_{iJ}dx_{J}$ die Funktionen ${}f_{iJ}$ stetig sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$. Es seien ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ und ${}\tau \in {\mathcal {E}}^{\ell }(M)$ Differentialformen auf ${}M$. Zeige die Gleichung

${}\varphi ^{*}(\omega \wedge \tau )=\varphi ^{*}\omega \wedge \varphi ^{*}\tau \,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\longrightarrow N={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid z\neq 0\right\}},\,(u,v,w)\longmapsto (uvw,u^{2}-vw^{5},u^{2}+v^{2}+w^{2}),$

und die ${}2$- Differentialform

$\omega =z^{2}dx\wedge dy+{\frac {xy}{z}}dx\wedge dz+(xe^{y}-z)dy\wedge dz$

auf ${}N$. Bestimme die zurückgezogene Differentialform ${}\varphi ^{*}\omega$.

Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Einheitssphäre ${}S^{2}\subseteq \mathbb {R} ^{3}$, wobei die Koordinaten des ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit ${}x,y,z$ bezeichnet seien. Für welche Punkte ${}P\in S^{2}$ bilden die Einschränkungen von ${}dx$ und ${}dy$ auf ${}S^{2}$ eine Basis des Kotangentialraums ${}T_{P}^{*}S^{2}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Begründe die einzelnen Gleichungen in der Gleichungskette im Beweis zu Lemma 82.8.

Gehe dabei folgendermaßen vor.

1. Legen Sie auf Ihrer Benutzerseite (oder Gruppenseite) eine Unterseite an, indem Sie dort die Zeile

   [[/Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   schreiben (d.h. Bearbeiten, Schreiben, Abspeichern; das / vorne ist wichtig).
2. Es erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf den roten Link und geben Sie dort

    {{:Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster}}

   ein.

3. Es erscheint die Gleichungskette. Wenn Sie auf eines der Gleich-Zeichen gehen, erscheint ein roter Link. Gehen Sie auf diesen roten Link und geben Sie dort die Begründung für diese Abschätzung ein.
4. Die Abgabe erfolgt online, indem Sie auf der Abgabeseite einen Link zu Ihrer Lösung hinterlassen, also dort

   [[Ihr Benutzername/Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Einzelbegründungen]]

   hinschreiben.