Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Vorlesung 81

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Orientierungen auf reellen Vektorräumen

Es seien und zwei zweidimensionale reelle Vektorräume mit den Basen bzw. . Es sei eine lineare Abbildung

gegeben mit und . Die Matrix, die diese lineare Abbildung beschreibt, ergibt sich, indem man die Koordinaten des Bildvektors des -ten Basisvektors als -te Spalte schreibt. Bei der gegebenen Nummerierung ergibt sich also die Matrix

und ihre Determinante ist . Wenn man hingegen die Reihenfolge von und vertauscht (also mit der Basis und arbeitet), so ist die beschreibende Matrix

mit der Determinante . Abhängig von der gewählten Basis kann also die Determinante mal positiv, mal negativ sein (bei einem Endomorphismus kann das nicht passieren, wenn man vorne und hinten stets die gleiche Basis nimmt).

Im Folgenden ist es wichtig, dass man unter einer Basis nicht die Menge der Basisvektoren , sondern das geordnete Tupel der Basisvektoren versteht.


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Man nennt zwei Basen und orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.

Diese Relation zwischen Basen ist eine Äquivalenzrelation, und zwar eine, bei der es nur zwei Äquivalenzklassen (genannt Orientierungen oder Orientierungsklassen) gibt (außer beim Nullraum).


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Eine Orientierung auf ist eine Äquivalenzklasse von Basen von unter der Äquivalenzrelation, orientierungsgleich zu sein.[1]

Es ist einfach, zu bestimmen, ob zwei Basen die gleiche oder die entgegengesetzte Orientierung besitzen, es macht aber keinen Sinn, die einzelnen Orientierungen zu benennen.

Viele Objekte aus Natur und Technik machen deutlich, dass es zwei verschiedene Orientierungen gibt. Es ist einfach, bei gleichartigen Objekten wie Federn die mit der gleichen und die mit der entgegengesetzten Orientierung zu erkennen.
Die Benennung der beiden Orientierungen und welchen mathematischen (durch eine Basis repräsentierten) Orientierungen sie entsprechen ist eine Frage der Konvention.

Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Er heißt orientiert, wenn auf ihm eine Orientierung erklärt ist.

Ein Vektorraum wird dadurch orientiert, indem man beispielsweise sagt, dass die Orientierung tragen möge, die durch die Basis repräsentiert wird. Der Standardraum trägt, wenn nichts anderes gesagt wird, die sogenannte Standardorientierung, die durch die Standardbasis repräsentiert wird.


Definition  

Es seien und zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume. Eine bijektive lineare Abbildung

heißt orientierungstreu, wenn für jede Basis , die die Orientierung auf repräsentiert, die Bildvektoren die Orientierung auf repräsentieren.

Es genügt, diese Eigenschaft für eine einzige, die Orientierung repräsentierende Basis nachzuweisen, siehe Aufgabe 81.4.

Bei einem eindimensionalen reellen Vektorraum (einer Geraden) ist eine Orientierung einfach durch einen einzigen Vektor gegeben, d.h. es wird einfach eine der beiden „Halbgeraden“ als „positiv“ ausgezeichnet. Dies ist wiederum äquivalent zu einer Identifizierung von mit , der mit der Standardorientierung versehen ist, bei der positiv ist. Unter Bezug auf das Dachprodukt kann man generell die Orientierung auf einem reellen Vektorraum auf die Orientierung einer Geraden zurückführen, wie die folgende Aussage zeigt.



Lemma  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension .

Dann entsprechen durch die Zuordnung

die Orientierungen auf den Orientierungen auf .

Beweis  

Es seien und zwei Basen von mit der Beziehung

Dann gilt nach Korollar 79.7

woraus die Wohldefiniertheit der Abbildung und die Aussage folgt.


Eine rechtswinkende Winkerkrabbe. Wenn sie sich auf einer dreidimensionalen orientierten Mannigfaltigkeit bewegt, bleibt sie stets rechtswinkend (weshalb es sich um einen sinnvollen Begriff handelt). Auf einer nicht orientierbaren Mannigfaltigkeit kann sie linkswinkend werden.



Orientierungen auf Mannigfaltigkeiten

Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Karte

mit und offen heißt orientiert, wenn der orientiert ist.

Wenn man einen Atlas aus orientierten Karten hat, so haben die Orientierungen auf den umgebenden Zahlenräumen , in denen die offenen Bilder der Karten liegen, erstmal nichts miteinander zu tun (obwohl man stets schreibt). Ein Zusammenhang zwischen den Orientierungen wird erst durch die beiden folgenden Begriffe formulierbar.


Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und es seien und orientierte Karten. Dann heißt der zugehörige Kartenwechsel

orientierungstreu, wenn für jeden Punkt das totale Differential

orientierungstreu ist.


Definition  

Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einem Atlas heißt orientiert, wenn jede Karte orientiert ist und wenn sämtliche Kartenwechsel orientierungstreu sind.

Das Möbius-Band ist das typische Beispiel einer nicht orientierbaren Mannigfaltigkeit. Damit es eine Mannigfaltigkeit ist, darf der Rand nicht dazu gehören; dann ist es aber auch keine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des , diese sind nämlich stets orientierbar.

Bei einer orientierten Mannigfaltigkeit besitzt jeder Tangentialraum eine Orientierung. Man kann einfach eine beliebige Kartenumgebung (aus dem orientierten Atlas) wählen und die Orientierung auf mittels nach transportieren. Wegen der Orientierungstreue der Kartenwechsel ist diese Orientierung unabhängig von der gewählten Kartenumgebung.

In einer orientierten Mannigfaltigkeit kann man auch zu zwei Basen in den Tangentialräumen zu zwei verschiedenen Punkten sagen, ob sie die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht. Dies ist der Fall, wenn beide Basen die Orientierung der Mannigfaltigkeit repräsentieren oder aber beide nicht.

Eine Mannigfaltigkeit heißt orientierbar, wenn sie diffeomorph zu einer orientierten Mannigfaltigkeit ist. D.h. wenn es einen Atlas gibt, der die gleiche differenzierbare Struktur definiert und der zusätzlich orientiert werden kann.



Kompaktheit

Teilmengen eines euklidischen Raumes, die sowohl abgeschlossen als auch beschränkt sind, nennt man kompakt. Auf topologischen Räumen, die nicht durch eine Metrik gegeben sind, kann man nicht von beschränkt sprechen, aber auch bei einem metrischen Raum, der keine Teilmenge eines ist, führen die beiden Eigenschaften abgeschlossen und beschränkt nicht sehr weit. Schlagkräftiger ist das folgende Konzept.


Definition  

Ein topologischer Raum heißt kompakt (oder überdeckungskompakt), wenn es zu jeder offenen Überdeckung

eine endliche Teilmenge derart gibt, dass

ist.

Diese Eigenschaft nennt man manchmal auch überdeckungskompakt. Häufig nimmt man zu kompakt noch die Eigenschaft Hausdorffsch mit hinzu. Es sei betont, dass diese Eigenschaft nicht besagt, dass es eine endliche Überdeckung aus offenen Mengen gibt (es gibt immer die triviale offene Überdeckung mit dem Gesamtraum), sondern dass man, wenn irgendeine irgendwie indizierte offene Überdeckung vorliegt, dann nur eine endliche Teilmenge aus der Indexmenge für die Überdeckung nötig ist.



Lemma  

Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis.

Dann ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in einen Häufungspunkt (in ) besitzt.

Beweis  

Sei kompakt und sei eine Folge gegeben.  Nehmen wir an, dass diese Folge keinen Häufungspunkt besitzt. Das bedeutet, dass es zu jedem eine offene Umgebung gibt, in der es nur endlich viele Folgenglieder gibt. Wegen gibt es nach Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung . Diese enthält einerseits alle Folgenglieder und andererseits nur endlich viele Folgenglieder, ein Widerspruch.

Sei die Folgeneigenschaft erfüllt und sei eine Überdeckung mit offenen Mengen. Da eine abzählbare Basis besitzt, gibt es nach Aufgabe 62.4 eine abzählbare Teilmenge mit . Wir können annehmen.  Nehmen wir an, dass die Überdeckung keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Dann ist insbesondere , und daher gibt es zu jedem ein  mit . Nach Voraussetzung besitzt diese Folge einen Häufungspunkt . Da eine Überdeckung vorliegt, gibt es ein mit . Da ein Häufungspunkt ist, liegen unendlich viele Folgenglieder in . Dies ist ein Widerspruch, da nach Konstruktion für die Folgenglieder nicht zu gehören.


Der folgende Satz heißt Satz von Heine-Borel.



Satz  

Es sei eine Teilmenge Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist überdeckungskompakt.
  2. Jede Folge in besitzt einen Häufungspunkt in .
  3. Jede Folge in besitzt eine in konvergente Teilfolge.
  4. ist abgeschlossen und beschränkt.

Beweis  

Die Äquivalenz von (1) und (2) wurde allgemeiner in Lemma 81.10 bewiesen.
Die Äquivalenz von (2) und (3) ist klar.
Die Äquivalenz von (3) und (4) wurde in Satz 36.9 gezeigt.



Maße auf Mannigfaltigkeiten


Es sei eine Mannigfaltigkeit. Gibt es ein sinnvolles Volumen für (Teilmengen von) , wann kann man eine auf definierte Funktion sinnvoll integrieren? Wenn man die Maßtheorie als allgemeines Konzept zugrunde legt, so ergibt sich folgendes Bild: es sei vorausgesetzt, dass einen abzählbaren Atlas besitzt. Ein Maß auf den Borelmengen ist dann durch die Einschränkungen des Maßes auf die offenen Teilmengen eindeutig bestimmt. Für jedes definiert die Homöomorphie

das Bildmaß auf . Dabei stehen die Bildmaße , , untereinander in der Beziehung

für jede messbare Teilmenge . Mit den Kartenwechseln bedeutet dies

für jede messbare Menge , die ganz innerhalb des Definitionsbereiches der Übergangsabbildung liegt.

Nehmen wir nun an, dass sich die Bildmaße jeweils mit einer Dichte bezüglich des Borel-Lebesgue-Maßes schreiben lassen, sagen wir

mit auf definierten

integrierbaren Funktionen . Für eine messbare Teilmenge gilt dann also

Für eine messbare Teilmenge gilt somit nach der Transformationsformel, angewendet auf die diffeomorphe Übergangsabbildung

die in überführt, die Gleichheit

Dies legt für die Dichtefunktionen , , das Transformationsverhalten

nahe (auch wenn es dies nicht erzwingt, da eine Dichte durch ihr Maß nicht eindeutig bestimmt ist). Wir werden die Integrationstheorie für Mannigfaltigkeiten auf dem Konzept der -Differentialformen aufbauen, die in natürlicher Weise dieses Transformationsverhalten (ohne den Betrag) besitzen.




Fußnoten
  1. Bei einem -dimensionalen Vektorraum, also dem Nullraum, gibt es nur die leere Basis. Es ist aber dennoch sinnvoll, von zwei Orientierungen auf dem Nullraum zu sprechen, die wir durch und repräsentieren.


<< | Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)